שם הכותב: תאריך: 29 אפריל 2015

גישת תיק השקעות – מודל מרקוביץ

גישה ו דוגלת בצמצום הסיכון ע"י גיוון ההשקעות. גיוון השקעות פירושו לפזר את כל ההשקעות על פני תחומים אחדים, כך שכשלונות בתחומים מסוימים יתקזזו ע"י הצלחו בתחומים אחרים. כלומר, צמצום הסיכון תלוי בקשר בין ההשקעות השונות. בוחנים את הקשר בין השקעות ע"י COV – שונות משותפת, שבוחן את הקשר בין משתנים מקריים ומבטא את האופן שבו המשתנים האלו זזים אחד ביחס לשני –

COV(X,Y) = (Xi-E(X)) * (Yi-E(X))*Pi

אם שניהם זזים באותו כיוון -> השונות חיובית

אם שניהם זזים בכיוון שונות -> השונות שלילית

השונות המשותפת לא מציינת את העוצמה בהם המשתנים זזים, אלא רק את הכיוון. מדידת העוצמה נעשית ע"י מקדם המתאם –

רו (מקדם המתאם) = שונות המשותפת COV(X,Y) / ( סטיית תקן של X * סטיית תקן של Y )

מקדם המתאם תמיד יהיה בין 1 ל- (1-) –

כאשר מקדם המתאם = 1 -> קשר מלא בין המשתנים, שני המשתנים נעים באותה עוצמה לאותו כיוון.

כאשר מקדם המתאם = (1-) -> יש קשר הפוך שני המשתנים, כל אחד מהם זז באותה עוצמה אך לכיוון הפוך.

כאשר מקדם המתאם = 0 -> אין קשר כלל בין המשתנים.

כאשר בוחרים שתי מניות, עדיף לבחור מניות שהולכות בכיוון שונה, כיוון שאם אחת מפסידה, השנייה הולכת לכיוון ההפוך, כלומר מרוויחה ולכן זה יכסה על ההפסד של הראשונה. לעומת זאת אם נבחר בשתי מניות שהולכות לאותו כיוון, אם המניות יפסידו שתיהן יפסידו ביחד.

 

דוגמא

ישנן שתי מניות זהות (יש להן אותה התפלגות של כסף) – A ו-B –

A

B

P

X

P

X

0.5

-8

0.5

-8

0.5

20

0.5

20

 

תוחלת השקעה בשכל אחת מהמניות = 6

הסיכון = סטית התקן = 14

אם החליט להשקיע במנייה A או במנייה B, בממוצע נקבל תוחלת 6 עם סיכון של 14.

משקיע מסוים מחליט לפזר את ההשקעה בין המניות- השקעה של 50% בכל אחת מהמניות –

Wa = 0.5 – פרופורציית ההשקעה במנייה A

Wb = 0.5 – פרופורציית ההשקעה במנייה B

הנחה א – נניח ששתי המניות מתנהגות אותו דבר – כלומר מקדם המתאם = 1

מכיוון שהוא השקיע חצי מהכסף במנייה A, ההסתברות שלו במנייה A –

בהסתברות של 0.5 לקבל 4- (חצי מהכסף)

בהסתברות של 0.5 להרוויח 10 (חצי מהכסף)

כך גם לגבי ההסתברות במנייה B.

 

Xp = תיק ההשקעות = הסתברות של 0.5 שיפסיד 8-

הסתברות של 0.5 שירוויח 20

כך שבסה"כ לא יקרה כלום, מכיוון שמקדם המתאם שווה ל-1, לא משנה אם נשקיע במנייה אחת, או נפצל את ההשקעה שווה בשווה בין שתי מניות, בגלל שמקדם התאם שווה ל-1, כלומר שתי המניות זהות לחלוטין, הפיזור לא מסייע לצמצום הסיכון ויוצא בסופו של דבר אותו דבר.

הנחה ב – נניח ששתי המניות מתנהגות לגמרי הפוך – כלומר מקדם המתאם = 1

במנייה A –

הסתברות של 0.5 להפסיד 4-

הסתברות של 0.5 להרוויח 10

במנייה B –

הסתברות של 0.5 להרוויח 10 במצב בו ב-A מפסידים 4-

הסתברות של 0.5 להפסיד 4- במצב בו ב-A מרווחים 10

לכן התוחלת של התיק הוא – Xp –

בהסתברות של 0.5 להרוויח 6

בהסתברות של 0.5 להרוויח 6

כלומר במצב זה התוחלת של תיק ההשקעות היא 6 -> כמו התוחלת של כל מנייה בנפרד.

והסיכון הוא אפס, מכיוון שבהסתברות של 0.5 נקבל 6, ובהסתברות של 0.5 נקבל 6, כלומר אותו דבר, לכן אין שונות, אין סטיית תקן ולכן אין סיכון. כלומר במצב בו מקדם המתאם הוא 1- -> הסיכון הוא 0.

הנחה ג' – שתי המניות לא קשורות אחת לשנייה בכלל – מקדם מתאם = 0

במנייה A-

בהסתברות של 0.5 נפסיד 4-, מכיוון שאין קשר בין המניות, במנייה B נקבל גם פיצול כי ישנם שני מצבים – בהסתברות של 0.5 נפסיד 4-, או בהסתברות של 0.5 נרוויח 10

 

בהסתברות של 0.5 נרוויח 10, מכיוון שאין קשר בין המניות, במניה B נקבל גם פיצול כי ישנם שני מצבים – בהסתברות של 0.5 נפסיד 4-, או בהסתברות של 0.5 נרוויח 10.

 

סה"כ ההסברות של תיק ההשקעות –

0.5 * 0.5 -> בהסתברות של 0.25 נפסיד 8-

0.5* 0.5 -> בהסתברות של 0.25 נרוויח 6

בהסתברות של 0.25 נרוויח 6

בהסתברות של 0.25 נרוויח 20

 

תוחלת סה"כ = 6

הסיכון = סטיית התקן = 9.9

במצב כזה , התוחלת היא כמו של מנייה אחת, והסיכון נמוך יותר ממניה אחת (נמוך מ-14)

 

מכל המצבים ניתן להסיק כי

ככל שמקדם המתאם יותר נמוך -> ניתן יותר לפזר את הסיכון, כלומר הסיכון הכולל של תיק ההשקעות נהיה נמוך יותר.

שמקדם המתאם הוא 1 -> סטיית התקן = 14

שמקדם המתאם הוא 0 -> סטיית התקן = 9.9

שמקדם המתאם הוא 1- -> סטיית התקן = 0

 

נוסחאות תוחלת וסיכון תיק השקעות

תיק המורכב משני נכסים (A,B)

Wa + Wb = 1

תוחלת של תיק השקעות = E(p) = Wa * E(a) + Wb * E(b)

הסיכון של תיק השקעות = סטיית התקן של p = שורש של הנוסחה הבאה – (שונות) –


 

דוגמא –

מצב כלכלי

התפלגות

תשואת מניה A

תשואת מניה B

שפל 0.1 100% – 15%
רגיל 0.8 50% 15%
שגשוג 0.1 50% 165%

 

נחשב את התוחלת והסיכון של תיק המורכב גם ממנייה -A וגם ממנייה -B בפרופורציה שווה –

Wa = Wb = 0.5

נחשב את התוחלת של המניות –

E(a) = התוחלת של מנייה A = 0.1 * 100%- + 0.8 * 50% + 0.1 * 50% = 35% -> בממוצע מה שמנייה A תניב.

E(b) = התוחלת של מנייה B = 0.1 * 15% + 0.8 * 15% + 0.1 * 165% = 30% -> בממוצע מה שמנייה B תניב

נחשב את סטיית התקן של המניות –

סטיית תקן A = (-100% – 35%)^2 * 0.1 + (50% – 35%)^2 * 0/8 + (50%-35%)^2 * 0.1 ) ^ 0.5 ) = 45%

סטיית תקן B = 45%

נחשב את ה-COV(A,B) כדי שנוכל למצוא לבסוף את מקדם המתאם = סיגמה של המרחק בין התשואה של מניה A לממוצע של מניה A, כפול המרחק של התשואה של המניה של B לממוצע של המניה של B, כפול ההסתברות –

(-100% – 35%) * (15%-30%)*0.1 + (50%-35%)*(15%-30%)*0.8 + (50%-35%)*(165%-30%)*0.1 = 225%

מקדם המתאם = רו = מקדם המתאם לחלק לסטיית התקן של A כפול סטיית התקן של B = 225/(45*45) = 0.111

התוחלת של כל התיק = E(p) = 0.5 * 35% התוחלת של A + 0.5 * 30% התוחלת של B = 32.5%

הסטיית תקן של כל התיק = 0.5^2* 45^2 + 0.5^2*45^2 + 2*0.5*0.5*225) ^ 0.5) = 33.54%

לסיכום –

תוחלת סטיית תקן
A 35% 45%
B 30% 45%
P – כל התיק 32.5% 33.54%

 

אחת ההנחות של המודל הן – המשקיע הינו שונא סיכון

משקיע שונא סיכון יעדיף את תיק ההשקעות, כי הסיכון בו הוא הנמוך ביותר.

בין השקעה A להשקעה B , נעדיף את A כי הסיכון זהה, אבל התוחלת גדולה ב-A

לכן רואים כי מנייה B היא נחותה.

למרות שאף משקיע שונא סיכון לא ישקיע במנייה B בגלל היותה נחותה, ניתן לראות שיצירת תיק השקעות (P) המכיל גם את A וגם את B מקטינה את הסיכון. ולכן, משקיעים שונאי סיכון יחליטו כן להשקיע במנייה B למרות שהיא נחותה, מכיוון שמקדם המתאם בין A ל-B הוא נמוך מ-1 (0.111), כלומר שתי המניות לא זהות לגמרי (מקדם המתאם =1), ולכן משקיע שונא סיכון יעדיף לפזר את ההשקעה בין שתי המניות כדי לפזר את הסיכון.

 

עקומת היעילות – עקום התיקים היעילים (לפי הדוגמא הקודמת)

תיק

Wa

Wb

E(p)

סטיית תקן תיק השקעות

1 100% 35% -> התוחלת של A בלבד כי השקענו רק ב-A 45% -> סטיית תקן של A כי השקענו רק ב-A
2 80% 20% 34% 38%
3 60% 40% 33% 34%
4 40% 60% 32% 34%
5 20% 80% 31% 38%
6 100% 30% -> התוחלת של B 45% -> סטיית התקן של B

 

בין תיק 1 ל-6 –עדיף 1 -> התשואה יותר גבוהה ב-1, והסיכון זהה

בין תיק 2 ל-5 -> עדיף 2 -> התשואה יותר גבוהה ב-2 , והסיכון זהה

בין תיק 3 ל-4 -> עדיף 3 -< התשואה יותר גבוהה ב-3, והסיכון זהה

תיקים 1,2,3 נקראים תיקים יעילים.

תיק יעיל – תיק המשיג רמה גבוהה יותר של תוחלת תשואה לאותה רמת סיכון.

עקומת היעילות – העקומה שעליה נמצאים התיקים היעילים בלבד.

המודל אומר שכל המשקיעים השונאי סיכון יבחרו באחד מהתיקים היעילים, מכיוון שהם יכולים להשיג לאותה רמת סיכון, תשואה יותר גבוהה.

P – הוא התיק עם המינימום סיכון, הוא מתחיל את עקומת היעילות.

בשביל להגיע לתיק P, חילקנו את ההשקעה בין A ל-B 50%/50% (זה לא תמיד ככה).

התיק האופטימלי לכל משקיע– תלוי בהעדפה לסיכון של כל משקיע ומשקיע.

 

עקומת אדישות – I

עקומת האדישות מציגה את התחלופה בין הסיכון לתשואה.

עקומת האדישות של משקיע שונא סיכון תהיה קמורה כלפי ראשית הצירים, כאשר ציר Y מציג את התשואה (תוחלת) וציר X מציג את הסיכון (סטיית התקן). ככל שעולים בעקומה, הסיכון של המשקיע גדל, אבל גם התשואה גדלה, והיא גדלה ביותר, לכן אחד מאזן את השני, ולכן לאורך עקומת האדישות המשקיע יהיה אדיש, כי מבחינתו גם אם הסיכון גדל, התשואה גדלה הרבה יותר (עקומה קמורה לראשית הצירים). כלומר משקיע שונא סיכון מוכן להגדיל את הסיכון רק אם יקבל גידול גדול יותר בתשואה, ולכן לאורך העקומה, הוא אדיש כי מבחינתו הוא מגדיל את הסיכון, אבל התוחלת גדלה ביותר. לאורך העקומה התועלת של המשקיע שווה, לכן הוא אדיש לאורך העקומה כי כל נקודה על העקומה תיתן לו את אותה תועלת.

אם עקומת האדישות זזה שמאלה, כלומר עולה, זה אומר שעוברים למצב בו התועלת של המשקיע היא גבוהה יותר.

 

חיבור בין עקומת היעילות לעקומת האדישות – לגבי עקומת היעילות, כל משקיע יבחר בתיק יעיל, כלומר שנמצא על עקומת היעילות, לגבי איזה תיק אופטימלי כל אחד מהמשקיעים יבחר, זה תלוי לפי עקומת האדישות של אותו משקיע, הוא יבחר את הנקודה שתיתן לו את התועלת הגבוהה ביותר, כאשר כל תזוזה של עקומת היעילות שמאלה, התועלת שלו עולה, לכן הוא יעצור כאשר עקומת האדישות, תגיע למקום הכי גבוהה שלה, בו היא פוגשת את עקומת היעילות (כי הוא יבחר רק תיקים שנמצאים על עקומת היעילות), המקום בו עקומת האדישות הוא הכי גבוה זה המקום שבו עקומת האדישות משיקה לעקומת היעילות.

לסיכום – התיק האופטימלי שכל משקיע יבחר זה התיק שבו עקומת האדישות שלו משיקה לעקומת היעילות.

עקומת האדישות של משקיע יותר שונא סיכון – השיפוע שלו יהיה יותר גבוהה, מכיוון שעל כל עליה בסיכון, הוא רוצה לקבל יותר תשואה, לכן השיפוע הוא גדול יותר. לעומת זאת, משקיע שפחות שונא סיכון – השיפוע של עקומת האדישות שלו תהיה יותר נמוכה, מכיוון שעל כל עליה בסיכון, הוא מוכן לקבל פחות תשואה, לכן השיפוע נמוך יותר.

 

הגורמים לפיזור הסיכון

1. מקדם המתאם.

דוגמא במצגת –

אם מקדם המתאם הוא 1 – לא מצליחים להוריד את סטיית התקן, הסיכון, מתחת ל-18% שזה סטיית התקן הנמוכה ביותר (של מניה A).

ככל שמקדם המתאם יותר נמוך מ-1 – מצליחים להוריד את סטיית התקן יותר ויותר, כלומר להוריד את הסיכון.

ככל שמקדם המתאם יותר נמוך, עקומת היעילות הולכת ועולה שמאלה ולמעלה, המשמעות היא –

* ככל שמקדם המתאם יותר נמוך, לאותה רמת תשואה, הסיכון הולך ויורד.

* ככל שמקדם המתאם יותר נמוך, לאותה רמת סיכון, התשואה הולכת ועולה.

ניתן לראות כי ככל שמקדם המתאם נמוך יותר, כך ניתן להפחית יותר את הסיכון. כלומר, עבור אותה רמת תוחלת תשואה, ישנה רמת סיכון נמוכה יותר. כמו כן, לאותה רמת סיכון ישנה תוחלת תשואה יותר גבוהה ככל שמקדם המתאם יותר נמוך.

כאשר מקדם מתאם שווה ל- (1-) ישנו תיק אחד בלבד שבו הסיכון שווה ל-0 -> נקרא תיק מינימום סיכון.

2. מספר הנכסים בתיק.

 

 



9 × = שבעים שתיים

תואר ראשון
תואר שני
מרצים