שם הכותב: תאריך: 18 מרץ 2015

קריטריונים לקבלת החלטות בתנאי אי ודאות

1. מקסימום תוחלת ענ"נ.

2. מקסימום תוחלת-תועלת.

3. תוחלת-שונות(סטיית תקן) -> מתייחס רק למשקיע שונא סיכון. -> כלל ה-CV

CE – שווה ערך וודאי – סכום וודאי, לא מסוכן, שהפרט יהיה מוכן לקבל כדי לוותר על הסיכון => השוואה של פונקציית התועלת לתוחלת-תועלת – E(U)=U(CE)

דוגמא

חברת ביטוח מציעה לבטח רכב שערכו 50,000 ₪ בביטוח מקיף תמורת פרמיה של 7,000 ₪, כך שאם הוא מבטח השווי שך הרכב נשאר 50,000 ₪. להלן הערכת הנזקים במידה ולא נבטח את הרכב –

הסתברות נזק שווי הרכב (לאחר הנזק) U – נציב את שווי הרכב בפונקציית התועלת
0.65 0 50,000 223.6
0.2 5000 45,000 212.13
0.1 10,000 40,000 200.1
0.05 50,000 0 0

 

פונקציית התועלת של הפרט -> U = שורש X -> פונקציה של שונא סיכון (חזקה קטנה מ-1)

א. האם יסכים הפרט לבטח את מכוניתו?

נחשב את התוחלת של שווי הרכב לאחר הנזק

E(X) = 0.65*50,000 + 0.2*45,000 + 0.1*40,000 + 0.05*0 = 45,500

נחשב את התוחלת של התועלת

E(U) = 0.65*233.6 + 0.2*212.13 + 0.1*200.1 + 0.05*0 = 207.77

מציאת שווה ערך ודאי ע"י השוואת פונקציית התועלת לתוחלת תועלת

שורש X = 207.77 -> X=CE = 43,168 -> השווי של הרכב שנסכים לקבל במידה ולא נעשה ביטוח בוודאות, במקום לאחת את הסיכון של לא לעשות ביטוח ולקבל 50,000 או 45,000 או 40,000 או 0.

פרמיית הסיכון – P = 45,500 – 43,168 = 2322 -> הסכום אותו מוכנים להפסיד על מנת לבטל את הסיכון.

פרמיית הביטוח המקסימלית– 50,000-43,168=6,832 -> הסכום המקסימלי אותו נסכים לשלם כדי להגן על הרכב, לא נסכים לשלם מעל סכום זה כי אז כבר עדיף לא לבטח בכלל כי אם לא מבטחים בכלל נקבל שווי רכב של 43,168, לכן הכי הרבה שנסכים לשלם עבור ביטוח הוא עד שנגיע לסכום אותו נקבל במידה ולא נבטח כלל.

הפרט לא יסכים לבטח ב-7000 ₪ את האוטו, כיוון שהוא יכול כלל לא לבטח ולהגיע לשווי של רכב גבוה יותר אם הוא לא יבטח בכלל -> 43,168

ב. לחילופין מציעה חברת הביטוח לשלם פרמיה שנתית של 5,000 ₪ בתוספת השתתפות עצמית של 2,000 ₪.

הטבלה במקרה של מי שיעשה ביטוח –

הסתברות נזק שווי הרכב (לאחר הנזק) U – נציב את שווי הרכב בפונקציית התועלת
0.65 0 50,000 -> במקרה בו אין נזק לא תהיה השתתפות עצמית 223.6
0.2 5000 48,000 -> בכל נזק ההשתתפות העצמית תהיה 2,000 ₪ 219.1
0.1 10,000 48,000 -> בכל נזק ההשתתפות העצמית תהיה 2,000 ₪ 219.1
0.05 50,000 48,000 -> בכל נזק ההשתתפות העצמית תהיה 2,000 ₪ 219.1

נחשב תוחלת תועלת –

E(U) = 0.65*223.6 + 0.35*219.1 = 222

נמצא שווה ערך ודאי –

שורש X = 222 -> X = CE = 49,297 -> הסכום שנסכים לקבל, לאחר השתתפות עצמית, בוודאות, במקום לקחת את הסיכון של לקבל או 50,000 או 48,000

49,297 – 5,000 פרמיית ביטוח = 44,297 -> השווי של הרכב שנסכים לקבל לאחר ששולמה הפרמיה של הביטוח וההשתתפות עצמית כדי לבטל את הסיכון

ללא ביטוח יצא לנו שווה ערך ודאי של – 43,168

לכן נעדיף לעשות ביטוח עם השתתפות עצמית, מאשר לא לעשות ביטוח כלל.

 

התאמת משוואת הענ"נ לסיכון

מציאת הענ"נ –

-> עושים במידה וה-CF לא שווה כל שנה

IO = השקעה

-> עושים במידה וה-CF קבוע = PMT

 

במצב בו אין ודאות לגבי קבלת תזרים המזומנים, במקום ה-CF נרשום את התוחלת שלהם –

-> חישוב הענ"נ שאין ודאות.

שתי גישות לטיפול בנוסחה זו על מנת להתחשב בסיכון – שתיהן יתנו את אותה תוצאה –

1. שער ניכיון (הריבית שאתה מהוונים) מותאם לסיכון – בגישה זו, נטפל במכנה של משוואת הענ"נ. אנו נהוון זרם לא וודאי (התוחלת) בשער היוון מותאם לסיכון.

שער היוון מותאם לסיכון – K = rf – שער היוון שלא מותאם לסיכון + p – פרמיית הסיכון באחוזים.

2. זרם מזומנים מותאם לסיכון – גישת שווה הערך הוודאי – בגישה זו מטפלים במונה של משוואת הענ"נ, כך שמחשבים את שווה הערך הוודאי ומהוונים בשער היוון שלא מותאם לסיכון – rf , מכיוון ששווה הערך הוודאי הוא ללא סיכון.

דוגמא

פונקציית התועלת של מנכ"ל חברת גמא היא – U(X) = x^0.25

פונקציית התועלת של סמנכ"ל חברת גמא היא – U(X) = x^1.25

החברה עומדת בפני החלטה האם להשקיע בפרויקט הדורש השקעה בסך 1.2 מיליון שקלים = I0

התפלגות זרמי המזומנים מהפרויקט במשך 10 שנים וההסתברות שלהם היא –

תזרים מזומנים שנתי – CF הסתברות U מנכ"ל U סמנכ"ל
120,000 0.4 18.612 2,233,452
300,000 0.4 23.043 7,012,042
600,000 0.2 27.832 16,698,946

 

שער הריבית נטול הסיכון – rf = 20%

א. נניח ומקבל ההחלטה הוא משקיע אדיש לסיכון (לא המנכ"ל ולא הסמנכ"ל), האם הפרויקט יתקבל

במקרה כזה יש לחשב את הענ"ן שיוצא מהפרויקט ולהוון בריבית הנטולת סיכון כיוון שלאדיש לא אכפת מה הסיכון –

E(CF) = 120,000*0.4 + 300,000 * 0.4 + 600,000 * 0.2 = 288,000

חישוב הענ"ן –


= 7296 > 0 -> הפרויקט יתקבל אצל משקיע אדיש לסיכון כי הענ"נ חיובי.

ב. במידה וההחלטה לגבי הפרויקט עומדת בפני המנכ"ל, האם יתקבל הפרויקט ? מהי פרמיית הסיכון באחוזים של המנכ"ל?

נפעל לפי הגישה השנייה, הגישה של שווה הערך הודאי, בגלל שלא נתונה פרמיית הסיכון ולכן לא ניתן להשתמש בגישה הראשונה.

לכן נמצא את שווה הערך הוודאי של המנכ"ל –

נמצא את התוחלת התועלת של המנכ"ל – E(U) = 0.4*18.612 + 0.4 * 23.043 + 0.2 * 27.832 = 22.372

נמצא את שווה ערך של המנכ"ל – = x^0.2522.372 -> X = CE = 250,507 -> הסכום שהמנכ"ל מוכן לקבל כדי לבטל את הסיכון, נמוך מהתוחלת כי הוא משקיע שונא סיכון לכן יהיה מוכן לקבל פחות כדי לבטל את הסיכון.

נמצא את הענ"נ לפי הגישה השנייה – גישת שווה הערך הוודאי ->

= 149,875- -> הענ"נ הוא שלילי ולכן אם המנכ"ל יקבל את ההחלטה הפרויקט לא יתקבל.

מציאת הפרמיה – P –

התוצאה של הגישה הראשונה שבא נמצאת פרמיית הסיכון בחישוב, תמיד תהיה שווה לתוצאה של הגישה השנייה, לכן ניתן ליצור משוואה וממנה לחלץ את פרמיית הסיכון –

NPV לפי גישה מס 1 = NPV לפי גישה מס 2 -> לכן אם ניקח את המשוואה לפי גישה 1 ונשווה אותה ל-NPV שיצא לנו בגישה 2

149,875 – =

במחשבון פיננסי – מעבירים את ה-1,200,000 אגף וביחד עם 149,875 = PV, n=10 , pmt=288,000 -> מחלצים את I = K

נמצא את K -> 24%

לפי גישה 2 – K = לריבית ללא סיכון – rf + פרמיית הסיכון – p

K = rf + p -> 24% = 20% + p -> p=4% – פרמיית הסיכון

ג. במידה וההחלטה לגבי הפרויקט עומדת בפני הסמנכ"ל, האם יתקבל הפרויקט? מהי פרמיית הסיכון של הסמנכ"ל ?

נפעל לפי הגישה השנייה, הגישה של שווה הערך הוודאי, בגלל שלא נתונה פרמיית הסיכון ולכן לא ניתן להשתמש בגישה הראשונה.

לכן נמצא את שווה הערך הוודאי של הסמנכ"ל –

נמצא את התוחלת התועלת של המנכ"ל – E(U) = 7,041,587

נמצא את שווה ערך של הסמנכ"ל – x^1.25 = 7,041,587 -> X = CE = 300,702 -> הסכום שהסמנכ"ל מוכן לקבל כדי לבטל את הסיכון, גבוה מהתוחלת כי הוא משקיע אוהב סיכון לכן ירצה לקבל יותר מהתוחלת כדי לבטל את הסיכון.

נמצא את הענ"נ לפי הגישה השנייה – גישת שווה הערך הוודאי ->

= 60,685 -> הענ"נ הוא חיובי ולכן אם הסמנכ"ל יקבל את ההחלטה הפרויקט יתקבל.

מציאת הפרמיה – P –

התוצאה של הגישה הראשונה שבא נמצאת פרמיית הסיכון בחישוב, תמיד תהיה שווה לתוצאה של הגישה השנייה, לכן ניתן ליצור משוואה וממנה לחלץ את פרמיית הסיכון –

NPV לפי גישה מס 1 = NPV לפי גישה מס 2 -> לכן אם ניקח את המשוואה לפי גישה 1 ונשווה אותה ל-NPV שיצא לנו בגישה 2

60,685=

נמצא את K -> 19%

לפי גישה 2 – K = לריבית ללא סיכון – rf + פרמיית הסיכון – p

K = rf + p -> 19% = 20% + p -> p=-1% – פרמיית הסיכון שלו שלילית כיוון שהוא אוהב סיכון.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




שמונה − 7 =

תואר ראשון
תואר שני
מרצים