שם הכותב: תאריך: 11 מרץ 2015

דוגמא לקריטריון תוחלת שונות (תקף רק למשקיעים שונאי סיכון) –

תכנית A – תוחלת – 20, סיכון של – 30

תכנית B – תוחלת – 60, סיכון – 20

תכנית C – תוחלת – 80 , סיכון – 80

תכנית D – תוחלת -20 , סיכון – 90

 

נבדוק לפי קריטריון התוחלת שונות איזה תכנית עדיפה

אם נשווה בין תכנית A לתכנית B – נעדיף את B כיוון כי גם התוחלת גבוהה יותר וגם הסיכון יותר נמוך.

אם נשווה בין תכנית C לתכנית D – נעדיף את C כיוון שהתוחלת גבוה יותר וגם הסיכון נמוך יותר.

אם נשווה בין תכנית B לתכנית D – נעדיף את B כי התוחלת גבוה יותר והסיכון נמוך יותר

אם נשווה בין תכנית A לתכנית D – נעדיף את A כי התוחלת זהה, אך הסיכון נמוך יותר.

אם נשווה בין תכנית A לתכנית C – לא ניתן לדעת, כי התוחלת של C גבוהה יותר, אך הסיכון גם גבוה יותר.

אם נשווה בין תכנית B לתכנית C – לא ניתן לדעת, כי התוחלת של C גבוהה יותר, אך הסיכון גם גבוה יותר. כלומר לא ניתן לדעת אם B או C, הקריטריון לא תקף, לכן לא ניתן להכליל את הבחירה של B או C על כל המשקיעים שונאי הסיכון.

כלומר ברגע שלא ניתן להחיל את הקריטריון של תוחלת שונות, כלומר לא ניתן לקבל החלטה מי מבין התכנית עדיפה לפי קריטריון התוחלת שונות, לא ניתן לבוא ולהגיד שכל שונאי הסיכון יבחרו באותה תכנית, כלומר לא ניתן להחיל את הקריטריון על כל שונאי הסיכון כי כל אחד מהם יכול לבחור תכנית אחרת מבין מה שמשווים.

דוגמא נוספת

קיימים שני הפרויקטים הבאים –

A

B

P

NPV

P

NPV

0.2

300

0.5

1700

0.5

500

0.5

2500

0.1

1000

0.2

0

 

איזה קריטריון יתקבל על סמך קריטריון תוחלת שונות –

E(NPVa) = תוחלת של פרויקט A = 0.2*300 + 0.5*500 + 0.1*1000 + 0.2 * 0 = 410

E(NPVb) = תוחלת של פרויקט B = 0.5*1700 + 0.5* 2500 = 2,100

אם נצטרך לקבל החלטה לפי קריטריון 1 – תוחלת – היינו בוחרים בפרויקט B.

אם קריטריון 3 – בוחן גם את הסיכון לכן נחשב את השונות ואת סטיית התקן –

שונות פרויקט A = (300-410)^2 * 0.2+ (500-410)^2 * 0.5+ (1000-410)^2 * 0.1 + (0-410)^2*0.2 =74,900 -> סטיית תקן= 274

שונות פרויקט B = (1700-2100)^2*0.5 + (2500-2100)^2*0.5 = 160,000 -> סטיית תקן = 400

ניתן לראות כי הסיכון של פרויקט B יותר גבוה מהסיכון של פרויקט A, לכן על פי כלל תוחלת שונות המסקנה היא שלא ניתן לדעת, מכיוון שמצד אחד התוחלת של B היא גבוהה יותר, אבל גם הסיכון של פרויקט זה גבוה יותר. לכן המשמעות היא שלא ניתן להחיל בחירה מסוימת על כל המשקיעים שונאי הסיכון.

במקרה זה ניתן לראות כי לא משנה איזה סכום נקבל בפרויקט A, עדיין הוא לא יעלה על כל סכום שנקבל בפרויקט B, כי הסכומים ב-A הם – 300 או 500 או 1000 א 0 ולעומת זאת הסכומים שניתן לקבל ב-B הם או 1,700 או 2,500 -> לכן ברור רק מלהסתכל שב-B תמיד נקבל יותר ולכן כביכול נעדיף את B -> מקרה כזה, בו נראה כי נעדיף את B, אך רואים כי הסיכון של B גבוה יותר ולכן בפועל לא ניתן לקבל החלטה, זה בגלל שפרויקט B לא מתפלג נורמלית.

כלומר המשמעות היא שלא ניתן לקבל החלטה והיא בגלל שהפרויקט לא מתפלג נורמלית. במקרה כזה נבדוק את כלל ה-CV.

כלומר אחד מהמקרים בהם לא ניתן לקבוע יכול להיות בגלל שההתפלגות היא לא נורמלית (לא בכל מקרה זאת הסיבה), וזה קורה כאשר רואים בוודאות באיזה פרויקט עדיף לבחור, אבל בגלל שהסיכון של אותו פרויקט גבוה יותר, לא ניתן לקבוע.

אם בפרויקט B היה רשום באחד מה-NPV 500 -> אז לא מדבר בהתפלגות שאינה נורמלית מכיוון שלא ניתן להגיד בוודאות שנבחר בפרויקט B כי לפרויקט A יש תוצאה גבוה יותר – 1000, ולכן לא ניתן להגיד שנעדיף את B-> במקרה כזה נגיד שחלק מהמשקיעים שונאי הסיכון יעדיפו את A וחלק יעדיפו את B ולכן לא ניתן להחיל שום קביעה לפי קריטריון את התוחלת שונות -> לכן נבדוק לפי כלל ה-CV.

אם הקריטריון תוחלת שונות לא חל, ולא ניתן להחיל בחירה כלשהי, קיים כלל החלטה נוסף –

מקדם ההשתנות – CV

נשתמש במקדם ההשתנות כאשר לא ניתן לקבל החלטה לפי קריטריון תוחלת שונות.

כלל ה-CV מתאים למשקיעים שונאי סיכון המעוניינים להביא את הסיכון ליחידה למינימום.

CV = G(X)/E(X)

הכלל אומר שנבחר בפרויקט בעל מקדם ההשתנות הנמוך ביותר.

 

נחשב את מקדם ההשתנות לכל אחד מהפרויקטים –

CVa – 274/410 = 0.668

CVb – 400/2100 = 0.19

לכן נבחר בפרויקט B כי מקדם ההשתנות שלו נמוך יותר.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

שווה ערך ודאי – CE

שווה ערך ודאי הוא הסכום הוודאי, שאם נציע אותו למשקיע הוא יהיה אדיש בין קבלת אותו סכום בוודאות, לבין קבלת תזרים שאינו ודאי, כלומר נותן לו את אותה התועלת.

E(U) = U(CE) – כלומר התוחלת תועלת = לתועלת שנקבל משווה ערך וודאי.

כלומר יש סכום מסוים שאנחנו מוכנים לקבל בוודאות – CE, שאם נציב אותו בפונקציית התועלת – U(CE), הוא ייתן את אותה תוחלת תועלת של סכום שאינו ודאי – E(u)

דוגמא-

X – סכום שנקבל P – הסתברות
1000 0.1
100 0.2
0 0.7

 

E(X) = התוחלת שנקבל היא = 120

נניח שמוכנים לשלם לנו כעת סכום ודאי שהוא – CE = 100 , כלומר התועלת שנפיק מהסכום הוודאי אם נציב את אותם 100 בפונקציית התועלת, חייבת להיות שווה לתוחלת תועלת שנפיק מהטבלה.

לכל אחד יש שווה ערך וודאי אחר, כלומר יתכן ואדם אחר יהיה מוכן לקבל שווה ערך וודאי של 80 ולא 100, כלומר התועלת של אותו אדם שיקבל מה-80 אם הוא יציב אותו בפונקציית התועלת שלו, תהיה זהה לתוחלת תועלת שיקבל מהטבלת הסתברויות.

שלבים למציאת שווה ערך ודאי

1. לתרגם את התוצאות הכספיות ליחידות תועלת – U

2. חישוב תוחלת תועלת – E(U)

3. להשוות את התוחלת תועלת לפונקציית התועלת – אז נחלץ X שהוא יהיה השווה ערך ודאי.

 

דוגמא

X – סכום שנקבל P – הסתברות U – נציב X בפונקציית התועלת
150,000 0.4 3.873
400,000 0.6 6.325

 

פונקציית התועלת היא – a(x) = שורש X / 100

אם נעשה נגזרת שנייה נמצא כי מדובר במשקיע שונא סיכון – כי היא קטנה מ-0 (תמיד שהחזקה קטנה מאחד, בשורש=0.5, תמיד זה יהיה שונא סיכון כי תמיד הנגזרת השנייה תהיה שלילית)

תוחלת = E(X) = 0.4*150,000 + 0.6*400,000 = 300,000

תוחלת תועלת = E(U) = 0.4 * 3.873 + 0.6* 6.325 = 5.344

כעת נמצא את שווה הערך הוודאי –

E(U) = פונקציית התועלת

5.344 = שורש X / 100 -> נחלץ את X = 285,583 = CE

כלומר המשקיע מוכן לקבל 285.583 בוודאות כדי לוותר על הסיכון! כלומר הוא מוכן לקבל את שווה הערך הוודאי שכביכול נמוך יותר מאשר להסתכן לקבל 300,000.

P = E(x) – CE = 300,000-285,583 = 14,417 -> פרמיית הסיכון בשקלים של המשקיע – ההפרש בין התוחלת לשווה ערך הוודאי. המשמעות היא שזה הסכום שהמשקיע מוכן לוותר עליו כדי לבטל לגמרי את הסיכון.

מכפיל ההתאמה
– a אלפא

אלפא = CE/E(X)

המשמעות של מכפיל ההתאמה היא – שעל כל שקל בסיכון, כמה אגורות הוא מוכן לקבל בצורה וודאית

אלפא = 285,583/300,000 = 0.952 -> כלומר על כל שקל של סיכון הוא מוכן לקבל 0.952 אגורות של וודאות, כלומר הוא מוכן לקבל על כל שקל של סיכון פחות כסף של וודאות וזאת על מנת לבטל את הסיכון.

 

אם נחפש את התועלת של התוחלת, כלומר נציב את התוחלת 300,000 בפונקציית התועלת נמצא את התועלת של התוחלת שמצאנו והיא – 5.477

את השווה ערך חילצנו מתוך התוחלת של התועלות – כי השוונו את פונקציית התועלת לתוחלת תועלת וכך מצאנו את שווה ערך הוודאי. כיוון ששווה ערך וודאי תמיד יהיה נמוך יותר מהתוחלת מהפרויקט ( כיוון שאנחנו מוכנים לקבל פחות בוודאות מאשר את הסיכון שבתוחלת), לכן גם התועלת של התוחלת, כלומר התועלת שתצא מהממוצע של הפרויקט, תמיד תהיה גבוהה יותר מהתוחלת של התועלת, כיוון שהתוחלת של התועלת היא בעצם שווה הערך הוודאי שנמוך יותר מהתוחלת של הפרויקט.

לכן U(E)>E(U) = 5.477>5.344 -> התועלת של התוחלת של הפרויקט גבוהה יותר מתוחלת תועלת.

 

משקיע שונא סיכון

CE < E(X) -> משקיע שונא סיכון תמיד יהיה מוכן לקבל פחות בוודאות (שווה ערך וודאי) כדי לבטל את הסיכון שבתוחלת

P>0 -> פרמיית הסיכון שלו תהיה חיובית כי הוא תמיד יהיה מוכן לוותר על כסף כדי לבטל את הסיכון

A < 1 -> אלפא קטן מאחד, כלומר הוא תמיד יהיה מוכן לוותר על שקל סיכון תמורת פחות משקל ודאי.

U(E) > E(U) -> התועלת של התוחלת תמיד תהיה גבוהה יותר מהתוחלת של התועלת, כלומר התועלת שתצא לאותו אדם מהתוחלת תמיד תהיה גבוהה יותר מהתוחלת של כל התועלות של הפרויקט.

משקיע אוהב סיכון

CE > E(X) -> משקיע אוהב סיכון יהיה מוכן לוותר על הסיכון שבתוחלת רק אם הוא יקבל שווה ערך וודאי גבוה יותר, כלומר לא אכפת לו לקחת את הסיכון כי אוהב אותו, אז הוא יהיה מוכן לוותר עליו רק אם יקבל יותר

P<0 -> פרמיית הסיכון שלו תהיה שלילית כי הוא לא רוצה לוותר על הסיכון לכן הוא רוצה שישלמו לו יותר כדי שהוא יוותר על הסיכון, לכן זה שלילי.

A > 1 -> אלפא גדול מאחד, כלומר הוא יהיה מוכן לוותר על סיכון רק אם יביאו לו יותר משקל עבור כל שקל של סיכון.

U(E) < E(U) -> התועלת של התוחלת תמיד תהיה נמוכה יותר מהתוחלת של התועלת, ההפך משונא סיכון. כיוון שהשווה ערך שלו צריך להיות גבוה יותר מהתוחלת של הפרויקט, לכן התועלת תוחלת של הפרויקט (שווה לשווה ערך לסיכון) גבוהה יותר מהתועלת של התוחלת, כלומר מהתועלת של הממוצע של הפרויקט.

 

משקיע אדיש לסיכון

CE = E(X) -> למשקיע אדיש לסיכון לא משנה אם לקחת את הסיכון או לקבל סכום ודאי במקום לכן התוחלת של הפרויקט תהיה שווה לשווה ערך ודאי שהוא יהיה מוכן לקבל.

P=0 -> פרמיית הסיכון שלו תהיה שווה ל-0 כי הוא לא רוצה לשלם עבור הסיכון, לא משנה לו אם יש סיכון או לא.

A= 1 -> אלפא שווה לאחד, כלומר הוא יהיה מוכן לוותר על סיכון אם יביאו לו את אותו שקל של סיכון.

U(E) = E(U) -> התועלת של התוחלת שווה לתועלת תוחלת.




+ 8 = תשע

תואר ראשון
תואר שני
מרצים