שם הכותב: תאריך: 03 נובמבר 2014

שיעור 2

המשך הדוגמא משיעור קודם-

נניח וכעת המקדם של X1 יהיה 4320 מה יקרה לפתרון האופטימאלי ולערך פונק' המטרה?

כלומר כעת הפונקציה תהיה: Z = 4320X1+2400X2

Z = 4320X1+2400X2

X2

X1

 

0

0

0

P

27,000

30

0

Q

108,000

11.25

18.75

R

108,000

7.03125

21.09375

S

 

נקבל 2 נקודות קצה שנותנות לי בדיוק את אותו הרווח אזי, כל הקטע RS הוא אופטימאלי כלומר יש לי אינסוף פתרונות (ריבויי פתרונות)

 

ניסוח בעיות ייצור

למדנו בשיעור הקודם כי ניסוח בעייה כולל 3 מרכיבים:

  1. הגדרת משתני החלטה
  2. פונקציית המטרה
  3. אילוצים

כעת בעזרת דוגמאות נראה איך מנסחים:

דוגמא 1:

חברת "IsraMed" ,נערכת לייצור רב שנתי של שני סוגי תרופות חדשניות. בשלב זה, החברה גייסה הון ראשוני שישמש אותה במשך השנה הראשונה. בכל יום, בכוונת החברה, לרכוש לפחות 395 שעות מחשב לצורך פיקוח על תהליך הייצור ולפחות 360 שעות מעבדה לבדיקת איכות סופית.

להלן נתונים נוספים:

ייצור ליטר תרופה 1 דורש 25 שעות מחשב ו12.5 שעותמ עבדה. עלות הייצור- 33,000₪.

ייצור ליטר תרופה 2 דורש 15 שעות מחשב ו20 שעות מעבדה. עלות הייצור- 35,000 ₪.

הנהלת החברה החליטה שכמות תרופה 2 שתיוצר לא תעלה על שליש הכמות הכוללת

נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי.

 

פיתרון דוגמא 1:

  1. ראשית נגדיר משתני החלטה-אלו הם הכמויות.

X1– כמות ליטרים שנייצר מתרופה 1

X2- כמותליטריםשנייצרמתרופה 2

  1. פונקציית המטרה-מכוון שמדובר על עלויות הייצור זוהי פונקציית מינימום.

    (כל נתון הנוגע לכסף ייכנס לפונקצייה)

     

            MIN Z = 33,000X1+35,000X2

     

  2. אילוצים-

     

    1. שעות מחשב-כל מה שקשור לשעות מחשב ייכנס לאותו אילוץ
    2. שעות מעבדה-כנ"ל
    3. כמות תרופת 2 לא תעלה על 1/3 מהכמות הכוללת
    4. אילוץ אי שליליות

     

    s.t: (1) 25X1+15X2395

    12.5X1+20X2360(2)

    כעת נסדר את האילוץ: X2≤1/3(X1+X2)(3)

    סידור האילוץ יתבצע ע"י סידור של משתני ההחלטה באגף שמאל והקבוע באגף ימין:

    -1/3X1+2/3X20

    X1,X2 0(4)

     

דוגמא 2:

חברת "נתיבי אויר" צריכה להודיע ליצרן המטוסים, מה מספר המושבים הנדרש בכל אחת מהמחלקות, במטוס החדש שהזמינה. בטבלה הבאה נתונים העלות והשטח של כל מושב וכן ההכנסה הצפויה מכל מושב במשך הפעלת המטוס:

מחלקה

מחלקת תיירים

מחלקת עסקים

מחלקה ראשונה

עלות

150

200

350

שטח

0.5

0.8

1.2

הכנסות

20,000

60,000

100,000

 

נתונים נוספים:

הסכום הכולל המוקצה לקנית המושבים 50,000 $

השטח הכולל המיועד למושבים במטוס הוא 150 מ"ר לכל היותר.

בכל טיסה יש לכל היותר 15 דיילים, והיחס הדרוש בין הדיילים לנוסעים בכל מחלקה הוא :

1:20, 1:10, 1:5 בהתאמה. הנהלת החברה דורשת שעל כל 20 מושבים במחלקת תיירים יהיה מושב אחד במחלקה עסקים ועל כל 2 מושבים במחלקת עסקים יהיה מושב אחד במחלקה ראשונה.

נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי כאשר המטרה היא מקסימום הכנסות.

    

פתרון דוגמא 2:

  1. משתני ההחלטה

X1– מספר המושבים במחלקת תיירים

X2– מספר
המושבים
במחלקת
עסקים

X3– מספר
המושבים
במחלקה ראשונה

 


  1. פונקצית המטרה

     

    X3100,000+MAX Z = 20,000X1+60,000X2

     

  2. אילוצים

    (1) סך העלות עבור כל מחלקה 50,000

    (2) סך השטח הכולל המיועד למושבים לכל היותר

    (3) אילוץ יחס בין הדיילים לנוסעים בכל מחלקה (בהתאמה-מחלקה ראשונה והלאה)

    (4) אילוץ יחס-מאחר ולא נתון לי "לכל היותר"/ "לפחות" אז הסימן הוא =.

    באילוץ יחס הכלל הוא לכפול את הגורם הקטן יותר.("תן למסכן")

    (5) אילוץ אי שליליותואילוץ שלמים (אילוץ שלמים-נקבע ע"י משתני ההחלטה)

     

    S.T :(1) 150X1+200X2+350X3≤50,000

    (2) 0.5X1+0.8X2+1.2X3≤150

    (3)1/20*X1+1/10*X2+1/5*X3

    (4) 20X2-X1=0

    2X3-X2=0

    (5) X1, X2, X3 = int ß

דוגמא 3:

מפעל מייצר 3 מוצרים: A , B ו- C. בטבלה הבאה נתונים הנוגעים לייצור:

מוצר

שעות עבודה ליחידה

חומר גלם ליחידה (ק"ג)

ביקוש (יחידות)

מחיר מכירה (₪)

A

2

4

מוגבל ל 90

850

B

6

2

לפחות 30 יחידות ולא יותר מ 60% מסך הייצור

1000

C

3 

3 

לא מוגבל 

700 

 

כל חודש ניתן לרכוש לכל היותר 500 שעות עבודה, בעלות של 150₪ לשעה.

ספק חומר הגלם מקבל הזמנות החל מ- 750 ק"ג (כמות מינימלית) במחיר של 65 ₪ לק"ג.

ניתן להגדיל את הביקוש למוצר A באמצעות פרסום. כל תשדיר פרסום, בעלות של 100₪, יגדיל את הביקוש למוצר זה ב- 40 יחידות.

א. נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי.

ב. חשב בעזרת התוכנה את תוכנית הייצור בה יתקבל הרווח החודשי המקסימאלי.

 

פתרון דוגמא 3:

  1. משתני החלטה

XA– כמות היחידות שנייצר ונמכור ממוצר A

XB– כמות היחידות שנייצר ונמכור ממוצר B

XC– כמות היחידות שנייצר ונמכור ממוצר C

P
כמות תשדירי פרסום

H– כמות שעות עבודה שנרכוש

G– כמות חומר הגלם שנרכוש

 

  1. פונקצית המטרה

MAX Z=850XA+1000XB+700XC – [150 *(2XA+6XB+3XC)


 

+65*(4XA+2XB+3XC)+100P]

 

 

  1. אילוצים

S.T: (1) XA – 40P ≤90

(2) XB≥ 30

XB≤0.6*(XA+XB+XC)

נסדר את האילוץ לפי הדרך המקובלת ונקבל:

-0.6XA+0.4XB – 0.6XC≤0

(3) 2XA+6XA+3XC≤500

(4) 4XA+2XB+3XC≥750

(5) XA,XB,XC≥0

XA,XB,XC=int

כעת ברצוני לדעת את סך שעות העבודה לכן ע"מ שנוכל לחשב זאת במהירות ולייעל את העבודה שזו המטרה ניקח את הביטויים: "כמות שעות העבודה" ו-"כמות חומר גלם" ונגדיר אותם באמצעות משתנה נוסף.

H=2XA+6XB+3XC G=4XA+2XB+3XC

 

ולכן כתוצאה מכך על מנת שהמחשב "ידע" לקשר בין הביטוי לבין המשתנים החדשים עלינו להוסיף 2 אילוצים הנקראים אילוצי איזון-אלו אילוצים המגדירים את משתני הבסיס שלי.


2XA+6XB+3XC=H (6)

כעת נסדר ונקבל: 0 = 2XA+6XB+3XC – H

 

4XA+2XB+3XC=G(7)

כעת נסדר ונקבל: 0=4XA+2XB+3XC – G


 



2 + שמונה =

תואר ראשון
תואר שני
מרצים