שם הכותב: תאריך: 11 מרץ 2015

אי – ודאות, סיכון ותועלת

אי-ודאות – אי ודאות נוצרת כאשר לא ידוע מהו הסיכוי שזרמי כספים מתוכננים יקבלו ערך מסוים. לכן נציג תחזית בצורה של התפלגות ההסתברויות של התוצאות בעתיד. המידע הגלום בהתפלגות בא לידי ביטוי בשני מונחים – תוחלת וסיכון.

התוחלת – מודד את הסיכוי. התוחלת מתייחסת להסתברות, לסיכוי.

סטיית תקן – המדד לסיכון, סטיית תקן גבוהה יותר אומרת שהסיכון גבוה יותר כי הערכים יותר מפוזרים מהתוחלת ולכן הסיכון יותר גבוה.

אי הודאות אומרת במילים אחרות – תוחלת וסיכון.

דוגמא –

חברה שוקלת שתי תכניות השקעה המוציאות זו את זו ( ניתן רק אחת מהן).

פרויקט הסתברות ענ"נ
A 100% 200
B 40% 100-
60% 400

 

נבדוק את התוחלת של כל אחד מהפרויקטים על מנת לדעת מי מהם עדיף –

תוחלת פרויקט A = E (A)= 1*200 = 200

תוחלת פרויקט B = E (B)= 0.6 * 400 – 0.4 *100 = 200

לפי התוחלת נהיה אדישים בין הפרויקטים

אך אם נסתמך אך ורק על התוחלת נתעלם מגורם הסיכון ולכן נבדוק גם את הסיכון ולפי הסיכון ניתן לראות ש-A בטוח לעומת B שמסוכן יותר ולכן נבחר ב-A.

קריטריון 1 – קריטריון תוחלת ענ"נ מקסימלית – כדי לקבל החלטה על פי קריטריון זה בלבד נחשב תוחלת ענ"נ לכל פרויקט ופרויקט ונקבל את הפרויקט עם התוחלת הגבוה ביותר.

לפי קריטריון זה נבחר בתוחלת הגבוה ביותר – ולכן במקרה של הדוגמא נהיה אדישים כי לשניהם אותה תוחלת.

קריטריון 2 – קריטריון תוחלת תועלת (U) –

פונקציית תועלת – השקעה ותצרוכת קשורים קשר הדוק ליחסו של המשקיע בסיכון. קשר נוסף ליחס לסיכון הינו התועלת מתצרוכת שיש לכל משקיע. לכל אחד מאתנו יש התועלת/הנאה מתצרוכת כלומר מכסף.

למשל אם למישהו פונקציית התועלת היא –

A(x) = x^2 + 20

יפיק מ-10 שקלים את התועלת הבאה לפי הפונקציה שלו – נציב 10 בפונקציה ונמצא תועלת = 120.

למישהו אחר יש פונקציית תועלת אחרת ולכן יפיק תועלת אחרת מאותם 10 שקלים.

תאוריית התועלת טוענת שכל אדם נוהג לתרגם את התוצאות הכספיות לתועלת שתופק לו מכך. זה אומר למעשה שלכל פרט ישנה פונקציית תועלת משלו. התרגום ליחידות תועלת של התוצאות האפשריות לוקח בחשבון הן את הסיכוי והן את הסיכון.

שלבים לקבלת החלטה באמצעות קריטריון זה

1. תרגום התוצאות הכספיות ליחידות תועלת.

2. חישוב תוחלת תועלת של כל פרויקט – U .

3. נבחר בפרויקט בעל התוחלת תועלת הגבוהה ביותר.

 

דוגמא

משקיע מסוים בעל פונקציית לעיל – u(x) = שורש X + 20

נציב את הענ"ן בפונקציית התועלת ונמצא את התועלת מכל אחד מהפרויקטים = U

B

A

P

NPV

U

P

NPV

U

0.3

500

42.36

0.5

300

37.32

0.7

250

35.81

0.5

600

44.5

 

נעשה תוחלת תועלת של פרויקט A (ממוצע משוקלל של כל התועלות של הפרויקטים) –

E(Ua) = 0.5*37.32 + 0.5*44.5 = 40.9 -> תוחלת תועלת של פרויקט A

E(Ub) = 0.3*42.36 + 0.7 *35.81 = 37.77 -> תוחלת תועלת של פרויקט B

הפרויקט הכדאי יותר הוא פרויקט A כי התוחלת תועלת שלו גבוהה יותר.

 

סוגי משקיעים

דוגמא – קיימים שני הפרויקטים הבאים –

A

B

ענ"נ

הסתברות

ענ"נ

הסתברות

20

100%

10

50%

30

50%

 

תוצאות פונקציית התועלת של 3 משקיעים –

ענ"נ משקיע U1 משקיע U2 משקיע U3
0 0 0 0
10 86 120 100
20 150 260 200
30 200 440 300
40 232 660 400

 

אם נחשב תוחלת, כלומר על פי קריטריון מס' 1 – נראה ששני הפרויקטים יש להם תוחלת של 20, כלומר נהיה אדישים בבחירה בין הפרויקטים.

נחשב תוחלת תועלת לכל פרויקט לפי קריטריון מס' 2 –

עבור משקיע U1

A

B

P

NPV

U

P

NPV

U

100%

20

150

50%

10

86

    E(U) = 150 – תוחלת תועלת של משקיע U1 בפרויקט A

50%

30

200

E(U)= 0.5*86 + 0.5 * 200 = 143 – תוחלת תועלת של משקיע U1 בפרויקט B

 

משקיע U1 יעדיף את פרויקט A לפי תוחלת תועלת.

 

עבור משקיע U2

A

B

P

NPV

U

P

NPV

U

100%

20

260

50%

10

120

    E(U) = 260 – תוחלת תועלת של משקיע U2 בפרויקט A

50%

30

440

E(U)= 0.5*120 + 0.5 * 440 = 280 – תוחלת תועלת של משקיע U2 בפרויקט B

 

משקיע U2 יעדיף את פרויקט B לפי תוחלת תועלת.

עבור משקיע U3

A

B

P

NPV

U

P

NPV

U

100%

20

200

50%

10

100

    E(U) = 200 – תוחלת תועלת של משקיע U3 בפרויקט A

50%

30

300

E(U)= 0.5*120 + 0.5 * 440 = 200 – תוחלת תועלת של משקיע U3 בפרויקט B

 

משקיע U3 יהיה אדיש בין הפרויקטים.

 

עולם המימון מבחין בין שלושה סוגים של משקיעים –

משקיע שונא סיכון – פונקציית התועלת של משקיע שונא סיכון היא פונקציה קעורה, ככל שהענ"נ גבוה יותר, התועלת שלו עולה אך בפחות כל פעם. הוא משקיע שהתועלת השולית שלו הולכת ופוחתת, כלומר תוספת של סכום מסוים נותנת לו פחות תועלת מההפסד של אותו סכום. יותר כואב לו להפסיד 10 שקלים מלהרוויח 10 שקלים. הוא מסתכל אך ורק על ההפסד. בדוגמא משקיע U1 – בחר את הפרויקט הוודאי יותר.

משקיע אוהב סיכון – פונקציית התועלת של משקיע אוהב סיכון היא פונקציה קמורה, ככל שהענ"נ גדל, התועלת עולה, כל פעם בצורה גבוהה יותר. משקיע אוהב סיכון משקיע בעל תועלת שולית שהולכת וגדלה, במקרה שלו הכאב מההפסד נמוך יותר מהשמחה על הרווח. כלומר הוא תמיד מסתכל מה יקרה אם הוא ירוויח. בדוגמא משקיע U2 – בחר את הפרויקט המסוכן יותר

משקיע אדיש לסיכון –פונקציית התועלת של משקיע אדיש לסיכון היא לינארית, ככל שהענ"נ גדל, התועלת נשארת קבועה. רק במקרה זה, ניתן להשתמש בקריטריון הראשון – כלומר בדיקה על ידי תוחלת, מכיוון שבמקרה זה התועלת תמיד תהיה זהה ולכן ניתן לבדוק לפי התוחלת. בדוגמא משקיע U3 – אדיש בין הפרויקטים.

דרך נוספת לזהות סוג משקיע הוא לפי הנגזרת

אם הנגזרת השנייה שלילית – מדובר במשקיע שונא סיכון

אם הנגזרת השנייה חיובית – מדובר במשקיע אוהב סיכון

אם הנגזרת השנייה = 0 – מדובר במשקיע אדיש לסיכון.

דוגמא

U(X) = שורש X + 20

U'(X)= 0.5X^(-0.5) -> נגזרת ראשונה

U"(X) < 0 -> נגזרת שנייה קטנה מאפס – פונקציה של משקיע שונא סיכון.

 

קריטריון 3 – קריטריון תוחלת – שונות –

מחשבים גם תוחלת = רווח מהפרויקט וגם שונות = שורש השונות = סטיית תקן = הסיכון, שביחד הם מהווים תחליף לקריטריון 2 – תוחלת תועלת. לקריטריון זה 2 הנחות –

1. מתייחס רק למשקיע שונא סיכון.

2. מניח התפלגות נורמלית.

כלל ההחלטה של קריטריון זההשקעה A עדיפה על השקעה B אם:

 

E(A) >= E(B) -> התוחלת של A שווה או גדולה מהתוחלת של B

וגם

G(A) < G(B) -> סטיית התקן של A קטנה מסטיית התקן של B

הסבר – אם התוחלות של שני הפרויקטים שווים ( או אפילו A עם תוחלת גבוהה יותר ) – נבחר את הפרויקט עם הסיכון הנמוך יותר.

 

או

 

 

E(A) > E(B) -> התוחלת של A גדולה מהתוחלת של B

וגם

G(A) <= G(B) -> סטיית התקן של A שווה או גדולה מסטיית התקן של B

הסבר – אם הסיכון של שני הפרויקטים שווים ( או A אפילו עם סיכון קטן יותר), נבחר את הפרויקט עם התוחלת הגבוהה יותר.

 

 

 

 




ארבע + = 5

תואר ראשון
תואר שני
מרצים