שם הכותב: תאריך: 31 אוקטובר 2014

שעור 1

הקדמה:

במהלך הקורס נעסוק במספר מודלים מתמטיים אשר באמצעותם נחשב את הפיתרון האופטימלי ביותר עבור החברה.

שלבים בפתרון בעיה בחקר ביצועים:

  1. ניסוח הבעיה באמצעות מודל מתמטי מתאים.
  2. חישוב פיתרון אופטימאלי
  3. ניתוח רגישות –מה יקרה אם אחד הנתונים ישתנה ,איך זה ישפיע על הפיתרון האופטימלי.

    

תכנון לינארי:

כל מודל וודאי שניתן לנסח באמצעות משוואות או אי שוויונים נפתור באמצעות תכנון לינארי.

כעת נציג את השלבים ונמחיש אותם בעזרת דוגמת הכיתה:

חקלאי מגדל לאורך שנים מלפפונים ועגבניות בשדה ששטחו 30 דונם. השנה, לקראת הסתיו, עליו להחליט כמה דונם יקצה לעגבניות וכמה יקצה למלפפונים. להלן ניתוח של גידוליו בשנים האחרונות:

סוג הגידול

תפוקה לדונם (טון)

רווח לטון (שקל)

צריכת מים לדונם(קוב)

עגבניות

3

1200

18

מלפפונים

4

1600

10

 

  • עקב הבצורת בשנים האחרונות, הוקצבה לחקלאי, לתקופת הגידול הנוכחית, מכסת מים של 450 קוב.
  • האחראי על השיווק במושב, דורש שיוקצה לפחות 1 דונם לגידול מלפפונים על כל 3 דונם לגידול עגבניות.

 

קיימים מספר שלבים:

  1. ניסוח הבעיה
  • הגדרת משתני החלטה– אלו משתנים כמותיים עליהם נדרש לקבל החלטה.
  • ניסוח פונקצית המטרה– הפונקציה יכולה לקבל מינימום/מקסימום.
  • ניסוח אילוצים– אלו הם משאבים מוגבלים.

לפי הדוגמא נגדיר:

X1 – מספר הדונמים שיוקצו לגידול עגבניות
X2– מספר הדונמים שיוקצו לגידול מלפפונים

Max Z = 3*1200X1 + 4*600X2 = 3600X1 + 2400X2

s.t. 1. X1 + X2 ≤ 30

2. 18X1 + 10X2 ≤ 450

3. X1 – 3X2 ≤ 0

X1, X2 ≥ 0

 

  1. א. סרטוט תחום אפשרי-

    תחום אפשרי-זהו התחום המקיים את כל אילוציי הבעיה.

    ניקח את כל האילוצים ונסרטט אותם ע"י שוויון של כל משוואה וכך נמצא תחום עבור כל אילוץ.

     

     


     

     

  • אילוץ אי שליליות ( X1, X2 ≥ 0 ) תמיד יהיה קיים-כלומר את כל המשוואות נסרטט ברביע הראשון.
  • איך נחליט באיזה שטח מדובר? נבחר נקודה שלא נמצאת על הישר אותו אני בודקת ונציב אותה באילוץ. אם קיבלנו פסוק אמת משמע הנקודה מקיימת את האילוץ וזה השטח המבוקש. אם קיבלנו פסוק שקר משמע הנקודה לא מקיימת את האילוץ ולכן לא יכול להיות השטח הדרוש.

     

  1. חישוב הפיתרון האופטימאלי על פי שיטת נקודות הקצה- מחשבים את הערכים של הנקודות אשר תוחמות את כל השטח המבוקש על ידי הצבתן במשוואות האילוצים. לאחר מכן את הנקודות שקיבלנו מציבים בפונקציית המטרה כדי לקבל האת הרווח. (ראה סרטוט)

    הנקודה האופטימלאית- היא זו שנותנת רווח מקסימאלי. ( R )


 

  1. אילוץ פעיל ולא פעיל-

    אילוץ פעיל- אילוץ אשר הנקודה האופטימאלית מקיימת אותו כשוויון.

    אילוץ לא פעיל- אילוץ אשר הנקודה האופטימאלית לא מקיימת אותו כשוויון.

     

    הערה:
    כל אילוץ אשר עובר דרך הנקודה האופטימאלית הוא אילוץ פעיל

     

  2. ערך משתנה סרק(עודף/חוסר) – ההפרש בין אגף ימין לשמאל בערך מוחלט בנקודה האופטימאלית. הסרק מציין את הכמות שלא ניצלנו ולכן הוא יהיה קיין באילוץ לא פעיל.

    באילוץ פעיל לעומת זאת הסרק תמיד 0 .

     

    1. ניתוח רגישות- מכוון שהאילוצים הם אלו שקבעו את התחום ובניתוח רגישות אני משנה רק את הנתון של פונקציית המטרה אז האילוצים לא השתנו ולכן גם התחום שחישבנו לא השתנה. כלומר הדבר היחיד שיהיה מושפע זה חישוב הרווח.( Z )

      לפי הטבלה ניתן לראות כי כעת הנקודה האופטימאלית היא Q. בהתאם לכך השתנה גם האילוץ הפעיל והסרק.

       

      Max Z =3600X1 + 2400X2

      בעקבות ניתוח רגישות הפונקציה כעת היא: Z=1200X1+2400X2

       

Z

X2

X1

 

0

0

0

P

72000

30

0

Q

49500

11.25

18.75

R

42178.5

7.03

21.09

S

 

 



חמש × = 30

תואר ראשון
תואר שני
מרצים