שם הכותב: תאריך: 11 נובמבר 2014

שיעור 3

תכנון לינארי -ניסוח בעיות השקעה ותובלה

דוגמא 1:

משקיע שוקל אלטרנטיבות שונות להשקעה במשך 5 השנים הבאות. השקעה ניתנת לביצוע ביום הראשון של כל שנה. אפשרויות ההשקעה הנן:

השקעה A: .אפשרית בתחילת כל שנה נותנת תשואה של 15% לאחר שנתיים.

השקעה B: אפשרית רק בתחילת השנה השלישית נותנת תשואה של 25% לאחר 3 שנים. כמות הכסף המקסימאלית שנתן להשקיע באפיק זה הנה 040444 דולר

השקעה C: אפשרית רק בתחילת השנה השנייה. נותנת תשואה של 40% לאחר 4 שנים. כמות הכסף המקסימאלית שנתן להשקיע באפיק זה דולר 340444

אג"ח ממשלתיות: השקעה זו אפשרית בתחילת כל שנה. נותנת תשואה של 6% בשנה    

בידי המשקיע 100,000 דולר להשקעה. כיצד יבנה את תכנית ההשקעות שלו על מנת להגיע לכמות הכסף המקסימאלית בתום 5 שנים.

נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי.

 

פתרון דוגמא 1- בעיית השקעה

נעבוד לפי השלבים:

  1. הגדרת משתני החלטה
  2. פונקציית המטרה
  3. אילוצים

 

משתני החלטה: המשקיע צריך לקבל החלטה כמה כסף להשקיע בכל אפיק ובנוסף השנים.

ולכן: XiJ- כמות הכסף שנשקיע בתחילת כל שנה באפיק מסויים.

X- כמות הכסף שנשקיע

i- בתחילת שנה כאשר ( i=1,2,3,4,5)

J- אפיק (J=1,2,3,4,5)

לדוגמא: XiJ- כמות הכסף שנשקיע בתחילת שנה ראשונה באפיק A

 

פונקציית המטרה: דרוש לנו מקסימום של כמות הכסף וכמות התשואה.

כאשר רוצים לנסח בעיית השקעה מומלץ לסדר את הנתונים בטבלה:

 

 

 

6

5

4

3

2

1

אפיקי ההשקעה

 

X5A

X4A

X3A

X2A

X1A

A

 


 


 

X3B


 


 

B

 


 


 


 

X2C


 

C

 

X5G

X4G

X3G

X2G

X1G

G- אג"ח ממשלתית

1.4X2C +

1.25X3B +

1.15X4A +

1.06X5G

1.15X3A +

X4G1.06

X2A +1.15

1.06X3G

1.15X1A +

1.06X2G

1.06X1G

100,000

כמות כסף זמינה

 

 

כעת ננסח את פונקציית המטרה:זוהי סף כמות הכסף בתום השנה ה 5.

MAXZ=1.4X2C +1.25X3B +1.15X4A +1.06X5G

 

אילוצים:

אל האילוצים ננסח לפי העמודות של הטבלה:

S.T : 1. X1A + X1G 100,000

2. X2A + X2C + X2G – 1.06X1G 0

3. X3A + X3B + X3G – 1.15X1A – 1.06X1G 0

4. X4A +X4G – 1.15X2A – 1.06X3G 0

5. X5G – 1.15X3A – 1.06X4G 0

6. X3B 40,000

7. X2C 30,000

XiJ0

דוגמא 2

חברת מייצרת רכיבים אלקטרוניים בשני מפעלים שונים ומובילה את הרכיבים לחמישה מחסנים אזוריים.עלות הייצור במפעל 1- 22 ₪ ליחידה ועלות הייצור במפעל 2- 27 ₪ ליחידה.

הביקוש השבועי הצפוי הינו: מחסן 1- 2000 יחידות ,מחסן 2- 3000 יחידות, מחסן 3- 1000 יחידות, מחסן 4- 5000 יחידות, מחסן 5- 4000 יחידות. יש לספק את הביקושים למחסנים האזוריים. עלויות ההובלה מהמפעלים למחסנים נתונות בטבלה הבאה:

 

מחסן 1

מחסן 2

מחסן 3

מחסן 4

מחסן 5

מפעל 1

3 ₪

2 ₪

5 ₪

4 ₪

2 ₪

מפעל 2

6 ₪

4 ₪

2 ₪

3 ₪

5 ₪

 

קיבולת הייצור השבועית של כל אחד מהמפעלים היא 8000 יחידות

א. נסח את הבעיה כבעיית תכנון ליניארי

ב. חשב את הפתרון האופטימאלי באמצעות התוכנה

פתרון דוגמא 2- בעיית תובלה

בעיית תובלה עוסקת בהובלת יח' מוצר ממקורות ליעדים.

כאשר : מקור = מי ששולח את יח' המוצר(מפעל, מחסן). יעד– מי שמקבל את יח' המוצר (לקוח, סניף)

המטרה בבעיות תובלה היא בדרך כלל מינימום-מאחר ומדובר בעלויות ייצור מהמקור ליעד.

משתני ההחלטה:

XiJ- כמות היחידות שיש להוביל ממפעל מסויים למחסן מסויים( מהמקור ליעדים) .

X- כמות היחדיות שנוביל

i- מקורות–מפעלים (i=1,2)

J- יעדים – מחסנים (J=1,2,3,4,5)

לדוגמא: X12=20, כמות היחידות שנוביל ממפעל 1 למחסן 2 היא 520 יחידות.

 

פונקציית המטרה: (כוללת את סך העלויות שלי שמורכבות הן מעלויות ייצור והן מעלויות הובלה)

MIN Z= 25X11+24X12+27X13+26X14+24X15 + 33X21+31X22+29X23+30X24+32X25


 

 

אילוצים:

S.T: 1. X11+X12+X13+X14+X15 8000

ניתן לנסח גם כך:


2. X21+X22+X23+X24+X25 8000

3. X11+X21 =2000

4. X12+X22=3000

5. X13+X23=1000

6. X14+X24=5000

7. X15+X25=4000

XiJ0

XiJ =int

 

    



תשע + = 10

תואר ראשון
תואר שני
מרצים