שם הכותב: תאריך: 02 מרץ 2014

סטטיסטיקה 3- שיעור 2

 

שאלה- חוקר מעוניין לבדוק את ההשפעה של 4 שיטות הוראה על תוחלת ההישגים בלימודים בקרב תלמידי תיכון מסוימים. בהנחה שלא היו גורמים אחרים שהשפיעו.

 

נוסח נוסף- חוקר מעונין לבדוק האם קיים הבדל בתוחלת הישגים ב4 שיטות הוראה מסוימות.

 

להלן הנתונים שהתקבלו במדגם מקרי של 26 תלמידים:

 

פרונטלי

4

למידה מרחוק

3

אחד על אחד

2

קבוצות קטנות

1

J- שיטות הוראה

I- מס' תצפיות

1 8 10 5

1

3 6 11 7

2

4 9 8 6

3

5 5 7 3

4

1 7 7 9

5

4 4 7

6

4 4

7

2

8

N4=6 N3=7 N2=5 N1=8

NJ- גודל המדגם בכל שיטת הוראה

X͞4=3 X͞3=6.143 X͞2=8.6 X͞1=5.375

X͞j- ממוצע בכל שיטת הוראה

4=2.8 3=3.8 2=3.3 1=5.41

– שונות בכל שיטת הוראה (קבוצה)

 

כאשר רוצים לבדוק השפעה של משתנה איכותי על פער בין תוחלות של מס' קבוצות משתמשים בניתוח שונויות-

 

השערות:

עבור כל: j:1à4

(ההשערה נבדקת 4 פעמים עבור כל שיטת הוראה- כל קטגוריה)

 

H0: µ1-µ

H1: אחרת

 

הנחות:

  1. מודל קבוע (ניתן להכליל את התוצאות רק על 4 שיטות שבדקנו במדגם ולא מעבר).
  2. דגימה מקרית של תלמידים בכל אחת משיטות ההוראה.
  3. מדגמים ב"ת.
  4. התפלגות נורמלית של ההישגים בכל אחת משיטות ההוראה באוכלוסייה (יש לבדוק בפלט. אם לא קיים פלט יש להניח.)
  5. שונויות ההישגים באוכ' שוות בכל ארבעת שיטות ההוראה.

 

(xij-x͞)=(x͞j-x͞)+(xij-x͞j)- הפער בין תצפית בודדת לממוצע הכללי במדגם.

 

xij= תצפית בודדת

x͞= הממוצע הכללי

x͞j-x͞= הפער בין הקבוצה שלי לממוצע הכללי

xij-x͞j= הפער בין התצפית הבודדת לממוצע הקבוצתי שלי

 

חישוב הממוצע הכללי של המדגם X͞-

 


 

X͞=(8*5.375+5*8.6+7*6.143+6*3)/(8+5+7+6)=5.65

 

SSTסכום ריבועי הסטיות הכללי של כל תצפית מהממוצע

(Sum of squares total)

 

כל תצפית פחות הממוצע בכללי בריבוע וסיכמה שלהם.


 

= מתאפס

 

(פתיחה לפי (a+b)^2)

 

Sst=

 

= סכום ריבועי הסטיות של כל ממוצע מהממוצע הכללי. כלומר סכום הקבועים בין הקבוצות.

S.S BETWEEN GROUPS

* לוקחים את הממוצע של הקבוצה פחות הממוצע הכללי בריבוע וכופלים במס' התצפיות בקבוצה.

 

= סכום ריבועי הסטיות בתוך הקבוצות.

S.S WITH IN GROUPS

 

SSB= אומדן להבדלים בין הקבוצות- אומדן לגודל האפקט. כיוון שמדובר באומדן הוא מכיל 2 דברים- גודל האפקט באוכ' וטעויות דגימה.

 

SSW= אומדן להבדלים בתוך הקבוצה- אומדן להבדלים בינאישיים והוא מכיל בתוכו את טעויות הדגימה (המובילות להבדלים בינאישיים).

 

אם באוכ' אין גודל אפקט, SSB וSSW יאמדו את אותו הדבר. הסיבה לכך היא ששניהם יהיו מורכבים רק מטעויות דגימה.

 

F=a+b(=ssb)/a(=sst)

אם B שווה 0- היחס יהיה שווה ל1.

 

אם נרצה לחשב את השונות הכללית, נחלק את SST בדרגת חופש N-1.

 

הפיכת SSB לשונות

Mean squares between groups=MSB=SSB/C-1

 

C-1= מס' הקטגוריות פחות 1

 

MSB= אומד חסר הטיה לשונות בין הקבוצות. מדד זה אומר את גודל האפקט באוכ' וכן את ההבדלים הבינאישיים.

 

הפיכת SSW לשונות

Mean squares with in groups=MSW=SSW/N-C

 

N-C= מס' הנדגמים פחות מס' הקטגוריות

 

MSW= האומדן לשונות בתוך הקבוצות הנובעת מהבדלים בין אישיים. כאשר הנחת שוויון השוניות באוכ' מתקיימת, ניתן לחשב את MSW המבוסס על מספר גדול יותר של תצפיות מאשר האומדנים לשוניות בכל אחת מתת הקבוצות.

 

היחס בין MSB וMSW-

תחת נכונות H0 שני האומדנים הינם אומדנים לאותה שונות (הבדלים בינאישיים) מכיוון שH0 נכונה זה אומר שאין גודל אפקט ולכן שני האומדנים לשונויות נוצרו מהבדלים בינאישיים בלבד ולכן הם שווים.

 

טבלת מקור השונות

 

סטטיסטי F+ אזור דחייה תוחלות E(MS) ממוצע ריבועי הסטיות דרגות חופש סכום ריבועי הסטיות SS מקור השונות
F=MSB/MSW
(תחת נכונות H0)

 

דחייה:

F>F(X)

C-1,C-N

 

C-1= דרגות חופש מונה MSB

 

C-N= דרגות חופש מכנה MSW

E(MSB)=Δ+σ^2

Δ=

MSB=ssb/(c-1)

=87.95/3=29.31

c-1=

4-1=3

SSB= = 8*(5.375-5.65)^2+5*(8.6-5.65)^2+7*(6.143-5.65)^2+6*(3-5.65)^2=87.95

הבדלים בין הקבוצות
Between groups
E(MSW)= σ^2

MSW=ssw/(n-c)

=87.39/22

=3.972

n-c=

26-4

=22

SSW===

גודל הקבוצה פחות 1 כפול השונות שלה וסכימה של כלל הקבוצות.

(8-1)*5.41+(5-1)*3.3+(7-1)*3.8+(6-1)*2.8=87.39

הבדלים בתוך הקבוצות
With in gruops

n-1=26-1=25

SST==SSB+SSW=175.34

סה"כ
Total

 

  • E(MSB)= Δ+σ^2, כאשר Δ זה הגודל אפקט באוכ' ו σ^2זה ההבדלים הבינאישיים. הMSB אומד את ההבדלים בין הקבוצות המורכבים מגודל אפקט- Δ וטעויות דגימה- σ^2. E(MSB) אומר מה MSB אומד באוכ'.

  • E(MSW)= σ^2 כאשר σ^2
    זה ההבדלים הבינאישיים. הMSW אומד את ההבדלים בתוך הקבוצות הנובע מהבדלים בין אישיים σ^2
    ולכן מורכב רק ממנו.

  • F=MSB/MSW- נקודת המוצא היא H0, שאומר שאין השפעה, כלומר אין גודל אפקט ולכן היחס בין MSB לMSW יהיה 1. (שניהם מורכבים רק מטעויות דגימה, אין Δ- גודל אפקט בMSB). אם יש גודל אפקט היחס יהיה גדול מ-1, כלומר F גדול מ-1 ואם זה באופן משמעותי, כלומר נפילה באזור דחייה, נוכל לדחות את H0 ולהגיד שיש השפעה. דחיית H0 תהיה רק אם נקבל F גדול מ-1 בצורה משמעותית שנופלת באזור דחייה.

חישוב סטטיסטי:

F=29.31/3.972=7.38

 

אזור דחייה:

 

F>F(0.05)3,22=3.05

 

כלומר נדחה H0 כיוון ש7.38>3.05

מסקנה:

7.38>3.05, כלומר הסטטיסטי F נופל באזור דחיית H0 ברמת מובהקות 0.05, כלומר יש עדות לכך כי קיים הבדל בין תוחלות ההישגים בין 4 שיטות ההוראה. או– יש עדות כי יש השפעה של שיטת ההוראה על תוחלות ההישגים.

 

זה אומר שיש גודל אפקט באוכ', שיטות ההוראה משפיעות על ההישגים.

 

עדיין ייתכן שישנן שתי קבוצות שאין ביניהם הבדל, אבל בסך הכללי, בין כל הקבוצות יש הבדל. כאשר יש יותר מאשר שתי קבוצות של משתנה ב"ת, אם דחינו H0 נידרש לבצע שלב נוסף של השוואות מרובות בכדי להחליט בין אלו קבוצות נמצאו הבדלים מדויקים.

 

eta= זהו מדד המתאר את עוצמת הקשר של המשתנה הב"ת על תוחלת המשתנה התלוי. כאשר הב"ת הוא איכותי והתלוי הוא כמותי.

0<=eta<=1

eta
יכול לנוע בין 0 ל-1: כאשר יוצא 0 זה אומר שאין קשר. כאשר יוצא 1 זה אומר קשר חזק.

 

eta^2=ssb/sst- הפרופורציה שבה ניתן להסביר את ההבדלים בין התצפיות ע"י שיוכם לקטגוריות שונות של המשתנה הב"ת. נותן איזה אחוז מתוך ההבדלים מוסבר ע"י המשתנה הב"ת.

 

0<=eta^2<=1

0= המשתנה הב"ת אינו מסביר דבר.

1= המשתנה הב"ת מסביר את כל ההבדל.

 

בדוגמה זו:

eta^2=87.31/175.34=0.498

 

כלומר, כמעט 50% מההבדלים בין האנשים (תצפיות) ניתן להסביר ע"י כך שלמדו בשיטות לימוד שונות.

 

הגדלת גודל המדגם

כיצד תשפיע הגדלת גודל המדגם על הסיכויים לדחות את H0 ועל גודל האפקט?

אם נגדיל את N, MSW קטן.

MSW=SSW/(N-C)

לכן, F יגדל.

F=MSB/MSW

מכאן שיהיה יותר קל לדחות H0.

 

הגדלת גודל המדגם מגדילה את הסיכוי למציאת גודל אפקט מובהק (דחיית H0). אמנם הגדלת המדגם אינה משפיעה על גודל האפקט (אפקט הטיפול), אך מאחר והיא מקטינה את אפקט הטעות (טעות הדגימה), גדלים הסיכויים למציאת גודל אפקט מובהק- כלומר לדחות את H0. הגדלת המדגם מקטינה את טעות הדגימה כי המדגם מתקרב יותר לאוכ' ולא תהייה הפרעה של טעויות דגימה.

 

לצילום של ד"ר גילה קינן

 

לצילום של מר תמיר פראוי



9 × חמש =

תואר ראשון
תואר שני
מרצים