שם הכותב: תאריך: 01 ינואר 2014

בס"ד, יום חמישי כ"ה בטבת תשע"ד, 26.12.13

שיעור אחת עשרה

 

משתנה מקרי רציף הוא משתנה אשר יכול לקבל אינסוף ערכים אפשריים בתוך טווח מספרים נתון, למשל: אורך
חיי מצבר, גובה, נפח, משקל.

חישוב הסתברות במשתנה מקרי רציף נעשה באמצעות פונקצית צפיפות (מקבילה לפונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי).

פונקצית הצפיפות מתקבלת ע"י הפוליגון המחבר את קצות מלבני ההיסטוגרמה כשעל ציר Y נמצאת הצפיפות. כלומר, ההתפלגות של משתנה רציף מתוארת באמצעות פוליגון.

ההסתברות במשתנה רציף מיוצגת ע"י השטח שמתחת לפונקצית הצפיפות ומחושבת באמצעות אינטגרל של פונקצית הצפיפות בין שתי הנקודות על ציר ה- X. השטח מתחת לכל עקומת הצפיפות שווה ל-1 (100% מההתפלגות).


כאשר עוסקים במשתנה מקרי רציף, ההסתברות לקבל ערך ספציפי הינה אפס. (היות ותיאורטית יש אינסוף ערכים).


לכן לא נתעניין בהסתברות ש-X
יקבל ערך ספציפי, כמו שעשינו עד עתה (כמו: מה ההסתברות לקבל את הפאה 3 בהטלת קובייה), אלא, מה ההסתברות ש-
X
יהיה בתוך רווח מסוים, כמו: מה ההסתברות לקבל גובה בין 162 ל- 168 ס"מ.


(לא יהיה הבדל בין לבין , כי ההסתברות לקבל ו/או ההסתברות לקבל , כמו גם ההסתברות לקבל כל ערך מסוים, שואפת לאפס).

תוחלת המ"מ מוגדרת כך: . שונות המ"מ מוגדרת כך: .

ציוני תקן

דוגמא 1:

תלמיד נבחן בשני מקצועות. באנגלית קבל ציון 80, ובמתמטיקה קבל ציון 80.

אנגלית

מתמטיקה

ציון

80

80

איפה הצליח יותר? נראה כי הצליח במידה שווה בשתי הבחינות, ואולם כאשר נוסיף יחידת מידע כמו הממוצע, מתקבלת תמונה שונה:

אנגלית

מתמטיקה

ציון

80

80

ממוצע

70

90

קל לראות שהוא הצליח יותר באנגלית, מכיוון ששם הוא קיבל מעל הממוצע.

ציון תקן זה מדד למיקום יחסי עבור משתנה כמותי, כשהציונים המתקבלים הם יחסית לתוחלת ולסטיית התקן של ההתפלגות ובכך הוא "מנטרל" את יחידות המדידה ומתקבל "ציון טהור". ציון זה מבטא את המרחק של תצפית מסוימת מממוצע ההתפלגות ביחידות של סטית תקן. כלומר, מספר סטיות התקן שיש בין תצפית מסוימת (ציון הגלם)
לבין ממוצע האוכלוסייה.
ככל שהפזור בהתפלגות קטן יותר, משמעות הפער הולכת וגדלה, ונקבל ציון תקן גדול יותר (בערכים מוחלטים). ציון התקן של כל תצפית בכל משתנה יצביע רק על המיקום היחסי של התצפית ביחס להתפלגות אליה היא שייכת.


טרנספורמציה זאת לציוני תקן נקראת תקנון.

במחקר נמצא כי ממוצע הציונים הפסיכומטריים באוכלוסייה הוא וסטית התקן . ממוצע גיל הנבחנים וסטית התקן .

נבחן מסוים קיבל בבחינה 620 וגילו 32. באיזה משני המשתנים מיקומו היחסי גבוה יותר?



אילו ערכים יכולים ציוני התקן לקבל?

יש 3 מצבים ל-:

  1. כאשר , ציון הגלם שווה לממוצע.
  1. כאשר , ציון התקן חיובי- ציון הגלם גדול מן הממוצע.
  2. כאשר , ציון התקן שלילי- ציון הגלם קטן מהממוצע.

תכונות סדרת ציוני התקן

  1. תוחלת ציוני התקן שווה ל-0.

הוכחה:

המונה מתאפס כי סכום הסטיות מהממוצע שווה ל- 0.

  1. שונות של סדרת ציוני התקן שווה ל- 1. (וגם סטיית התקן של ציוני התקן שווה ל- 1)

הוכחה:



  1. התפלגות סדרת ציוני התקן זהה להתפלגות המשתנה המקורי.

ציוני התקן הם בעצם טרנספורמציה ליניארית של המשתנה המקורי (החסרה של קבוע וחלוקה בקבוע) וטרנספורמציה ליניארית אינה משנה את צורת ההתפלגות של המשתנה. לכן ציוני התקן שומרים על צורת ההתפלגות של המשתנה המקורי.

לצילום שיעור סמסטר א'

 

לצילום שיעור סמסטר ב'

 




× 9 = תשע

תואר ראשון
תואר שני
מרצים