שם הכותב: תאריך: 25 ינואר 2015

שיעורים 10+ 11 :

מערכת עם קיבולת אינסופית

דוגמא

בעונה הראשונה של התוכנית "לעוף על המיליון" הגיעו מועמדים רבים לאודישנים. ממוצע משך זמן הראיון של מועמד הוא 10 דקות (לפי התפלגות מעריכית). מופע המועמדים הוא פואסוני עם קצב ממוצע של 15 מועמדים בשעה.

בהנהלת התוכנית מתלבטים כיצד לנהל את תור המועמדים ונשקלות 3 חלופות:

חלופה 1: לחלק את המועמדים לשני אולפנים בהם ייערך הראיון. באולפן א' יהיה מראיינים שיעבדו במקביל. החלוקה של המועמדים S מראיין אחד ובאולפן ב' יהיו לשני האולפנים היא באופן כזה ש- 1/5 מהמועמדים מגיעים לאולפן א' והיתר מגיעים לאולפן ב'. אצל כל אחד מהמראיינים משך הראיון הממוצע הינו שווה.

חלופה 2: לחלק את המועמדים לשני אולפנים כמו בחלופה 1, אך לפי החלוקה של 1/3 לאולפן א' והיתר לאולפן ב'. באולפן א' יועסק מראיין אחד ובאולפן ב' יועסקו שני מראיינים.

חלופה 3: להעסיק 4 מראיינים, שיטפלו ביחד בתור המועמדים. המועמד הראשון בתור יטופל על ידי המראיין הראשון שיתפנה.

(משך השירות הממוצע בכל החולפות הינו שווה)

ענה על הסעיפים הבאים באמצעות הפלטים בסוף השאלה:

א. מהו המספר המינימאלי של המראיינים הנדרש בחלופה 1, באולפן ב'?

בהמשך השאלה הניחו שהתוצאה שהתקבלה בסעיף א' הוא אכן מספר המראיינים

בחלופה זו.

ב. חשב לגבי כל אחת משלוש החלופות את:

  1. ממוצע זמן ההמתנה בתור של מועמד.
  2. אחוז המועמדים הנכנסים מיד לראיון, כלומר ללא המתנה בתור.
  3. מספר המועמדים הנמצאים במערכת (תור+ראיון)
  4. הסק איזו חלופה מועדפת מבחינת טיב השירות. מדוע, לפי דעתך, מסקנה זו הינה הגיונית?

ג. חשב את דרגת התעסוקה הממוצעת של השרתים עבור כל אחת מהחלופות.

ד. אם יתגמלו את המראיינים לפי שעות העבודה בפועל, באיזו חלופה יהיה סך שכר המראיינים הנמוך ביותר?

מעוניינים להגביל את החלופות רק לאלה שבהן כל מראיין יהיה עסוק לכל היותר ב 80% מהזמן בממוצע. בהינתן מגבלה זו ענו על הסעיף הבא:

ה. כל מרואיין שמגיע לאולפן ויש לפניו יותר ממועמד אחד בתור, מקבל פיצוי של 10 ₪. מה החלופה המועדפת, אם המטרה היא להביא למינימום את תוחלת העלות לשעה?

 

 

פיתרון:

  1. נחשב את מספר השרתים לפי הנוסחה של דרגת התעסוקה:


ß
S=3

  1. 1)

חלופה 1: עבור אולפן א'+ב' יחד- Wq=0.01667*1/5+ 0.0741*4/5= 0.0926

חלופה 2: Wq=0.8333*1/3 + 0,3788*2/3 = 0.5303

חלופה 3: Wq=0.04

נבחר בחלופה 3 עבור זמן מינימאלי.

2) נשתמש בנוסחה : P(nS-1)

חלופה 1: 0.544

חלופה 2: 0.2171

חלופה 3: 0.6801

נבחר בחלופה 3 עבור הסתברות מקסימאלית.

3) מדובר על מספר מועמדים כלומר על כמות ולכן נחשב את LS

חלופה 1: 3.8889

חלופה 2: 10.4544

חלופה 3: 3.03

4) החברה מעוניינת במספר מועמדים קטן ולכן חלופה 3 עדיפה.

ג.

חלופה 1:

חלופה 2:

חלופה 3:

ד.. איפה שדרגת התעסוקה היא הנמוכה ביותר.

 

 

 

 

מערכת עם קיבולת סופית

עד עכשיו עסקנו במערכת עם קיבולת אינסופית כעת נדבר על מערכת בה הקיבולית היא סופית כלומר למערכת הזאת לא ניתן להכניס יותר ממספר מסוים של קיבולת.

דוגמא

מרכז מסחרי הוקם באזור מסוים. יש 15 מקומות חנייה ליד המרכז והמשטרה אינה מאפשרת ליותר משלוש מכוניות נוספות להמתין לחניה כאשר החניון מלא. על כן, כאשר יש כבר 3 רכבים ממתינים, הלקוחות מתבקשים לחפש חניה במקום אחר. מגיעים למרכז בממוצע 30 רכבים בשעה ורכב חונה בממוצע שעתיים בחניון. (נניח שמופע הלקוחות מתפלג פואסונית ומשך השירות מתפלג מעריכית)

יש להיעזר בטבלת התוצאות המצורפת על מנת לענות על הסעיפים הבאים:

א. איזה אחוז מבין הלקוחות הפוטנציאליים מוצא מיד חניה (בלי להמתין)?

ב. כמה מכוניות בממוצע כל שעה נאלצות לחפש חניה במקום אחר?

ג. מהי תוחלת משך ההמתנה לחניה?

הנהלת המרכז המסחרי מעריכה, שהלקוחות שאינם מצליחים להיכנס לחניון,מעדיפים לערוך את קניותיהם במקום אחר, במקום לחפש חניה אחרת בקרבת מקום. אי לכך, הם מחפשים דרך להוסיף מקומות חניה על מנת להפסיד פחות לקוחות.

החלופות העומדות בפני ההנהלה הנן:

  1. להרחיב את החניון הקיים. ניתן להוסיף 10 מקומות חניה בעלות של 180,000 ₪ .
  2. לבקש מהעירייה להפוך את כביש הגישה לחניון לחד-סטרי. במקרה זה יהיה אפשר להכשיר 10 מקומות חניה לצד הכביש ובנוסף המשטרה תאפשר עד חמשה רכבים בתור ההמתנה. העירייה תגבה מהנהלת המרכז המסחרי תשלום של 2000 ₪ ליום עבור פתרון זה. (המרכז פתוח מתשע בבוקר עד שבע בערב)

נניח שמכל לקוח שמחנה בחניון יש רווח ממוצע של 350 ₪ בגין קניותיו במרכז המסחרי.

ד. בכמה יקטן המספר הממוצע לשעה של המכוניות, שמחפשות מקום חנייה אחר (ונוטשות את המרכז) אם תיושם החלופה הראשונה?

ה. תוך כמה ימי עבודה תצליח הנהלת המרכז המסחרי להצדיק את עלות הרחבת החניון (חלופה ראשונה)?

ו. מהו הרווח הממוצע לשעה עבור שתי החלופות? (אין להתייחס לעלות ההרחבה בחלופה הראשונה בחישוב זה, אך יש לקחת בחשבון את התשלום היומי לעירייה בחלופה השנייה). איזו חלופה עדיפה?


 

פיתרון:

  1. לפי הרצה מספר 1: P(n14)= 0.0038


-ממוצע מספר הלקוחות שאינם יכולים להיכנס למערכת

-ממוצע מספר הלקוחות שנכנסים בפועל למערכת

נחשב את :

במערכת על קיבולת סופית איפה שיש הכוונה ל

  1. Wq- משך המתנה לתור= 0.356
  2. ראשית נחשב את עבור חלופה 1:

כעת נחשב בכמה הוא יקטן 4.98= 22.503-17.523

  1. חלופה 1: 2366.95

חלופה 2: 4173.25

ולכן חלופה 1 יותר כדאית.



− 3 = ארבע

תואר ראשון
תואר שני
מרצים