שם הכותב: תאריך: 06 אפריל 2014

מודל S&B

רקע

מודל S&B משנת 1973, הוא אחד המודלים השימושיים ביותר להערכת אופציות.

טרם פרסום עבודה זו, בוצעו כמה עבודות שמטרתן הייתה הערכת אופציות.

הבעיה העיקרית במודלים אלו היתה הבחירה בריבית להיוון.

החידוש במודל S&B היה השימוש בריבית חסרת סיכון להיוון התזרים בגין האופציה.

גישה זו, דומה לזו שהוסברה עבור המודל הבינומי בשיעור הקודם.

 

הנחות המודל

  • אופציה אירופאית (מאוחר יותר פותחה נוסחה גם לאופציה אמריקאית).
  • האופציה לא מחלקת דיבדנדים.
  • אין עמלות ומיסים.
  • שיעור הריבית קבוע לאורך חיי האופציה.
  • סטיית התקן קבועה לאורך חיי האופציה.
  • אין הגבלה על עסקאות שורט.
  • המסחר רציף.

 

 

 

 

פרמטרים מרכזיים


מודל S&B    

תמחור אופציית CALL:


תמחור אופציית PUT:


כאשר:



– מייצג התפלגות נורמלית סטנדרטית עד הנקודה d. המשמעות היא – ההסתברות לכך שמספר כלשהו יהיה נמוך מהערך d.

– מייצג בקירוב את ההתפלגות למימוש האופציה. למעשה משקף את ההסתברות למימוש האופציה.

 

מהו N(d) באופן כללי?

N(d) – ההסתברות שערך כלשהו, בהתפלגות נורמלית, יהיה מתחת ל-d


מחיר נכס הבסיס מול מחיר המימוש בעתיד


הנחה: מחיר נכס הבסיס מתפלג בהתפלגות "לוג-נורמלית" בעתיד

 

מחיר נכס הבסיס מול מחיר המימוש בעתיד


נכס הבסיס מתפלג לוג-נורמלית בעתיד; מחיר המימוש הוא ודאי

  • ישנו סיכוי כי נכס הבסיס בעתיד יהיה שווה יותר ממחיר המימוש – ובמקרה כזה נממש את האופציה
  • באופן משלים, יש סיכוי בעתיד שנכס הבסיס יהיה שווה פחות ממחיר המימוש – ואז לא נממש את האופציה

 

N(d2)

ההסתברות שמחיר נכס הבסיס בעתיד יהיה יותר גבוה ממחיר המימוש

קרי – ההסתברות שהאופציה תמומש


 

N(d1)

זהו פרמטר שהתיאור שלו אינו אינטואיטיבי

N(d1) מציין יחס. כמה אני ארוויח בממוצע על האופציה במונחים של שווי המניה היום,

בהינתן שמימשתי אותה. זאת אמרת, בהינתן ש-N(d2) התממש, מה יחס תוחלת הרווח שלי.


דרך נוספת להסתכל על N(d1)

N(d1) הינו ה"דלתא" של האופציה


זאת אומרת, N(d1) מציין את הרגישות של שווי האופציה ביחס לשינוי מחיר נכס הבסיס. זה קרוי גם "יחס הגידור".

 

אופציית CALL – הצגה גרפית


 

אופציית PUT – הצגת גרפית


    

ריכוז השפעות על מחיר אופציה

עלייה בגורם

CALL

PUT

מחיר נכס הבסיס

+

מחיר מימוש

+

אורך חיי האופציה

+

?

סטיית תקן

+

+

ריבית

+

 

 

 

 

 

 

 

דוגמא: חישוב מחיר אופציית CALL

נתון כי מחיר מניה הוא 100 ש"ח. ריבית חסרת סיכון לשלושה חודשים היא 5% וסטיית התקן של המניה היא 20%.

מחיר המימוש של האופציה הוא 110.

ראשית נחשב את d1 ואת d2:


 

נחשב את ההסתברויות (על ידי הצבה בלוח התפלגות נורמאלית):


ומכאן:


ערך פנימי וערך זמן

ניתן לחלק את שווי האופציה לפי מודל S&B לשני חלקים:

  • ערך פנימי – ערך האופציה למימוש מיידי.
  • ערך זמן – ערך B&S בניכוי הערך הפנימי.

עבור אופציית CALL – ערך הזמן תמיד חיובי.

עבור אופציית PUT – ערך הזמן יכול להיות חיובי, אפס או שלילי.

ככל שהזמן לפקיעה מתקצר – ערך האופציה מתקרב לערך הפנימי.

במועד המימוש – ערך הזמן שווה לאפס (ערך האופציה שווה לערך הפנימי).

דוגמא:

בנתוני הדוגמא הקודמת

שווי האופציה:

ערך פנימי:

ערך הזמן:

 

יווניות – רגישות מחיר האופציה

ניתן לגזור את מחיר האופציה ביחס לכל אחד מהפרמטרים בנוסחה.

תוצאת הגזירה משקפת את הרגישות של מחיר האופציה לכל אחד מהפרמטרים, כאשר יתר הפרמטרים ללא שינוי.

 

דלתא

  • דלתא (Δ) – אומדן לשינוי במחיר האופציה כאשר מחיר נכס הבסיס משתנה ביחידה.
  • דלתא היא נגזרת המחיר ביחס לנכס הבסיס.
  • יש לשים לב שדלתא היא רק קרוב לשינוי במחיר ואינה מדוייקת.
  • לדוגמא, נניח כי הדלתא של אופצית CALL היא 0.51. כמו כן, נניח כי מחיר נכס הבסיס הוא 100 וצפוי לעלות ביחידה 1 וכן שמחיר המימוש הוא 100. השינוי הצפוי במחיר האופציה:

100*0.51*1=51

 

גמא

  • גמא (Γ) – אומדן לשינוי בדלתא של האופציה כאשר מחיר נכס הבסיס משתנה ביחידה.
  • גמא היא למעשה הנגזרת של הדלתא או לחילופין הנגזרת השנייה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס.
  • גמא מודדת למעשה את קצב שינוי הדלתא.
  • גמא מגיעה למקסימום בכסף וקטנה כשמתרחקים מהכסף.
  • עבור מחיר מימוש ומועד פקיעה זהים גמא של אופציית CALL שווה לגמא של אופציית PUT.

 

ווגא

  • ווגא (Λ) – אומדן לשינוי במחיר אופציה, כאשר סטיית התקן משתנה ב 1%.
  • ווגא היא נגזרת של פונקציית מחיר האופציה לפי סטיית התקן.
  • ווגא תמיד חיובית.
  • ווגא מגיעה למקסימום בכסף.
  • ווגא של אופציית CALL שווה לווגא של אופציית PUT.

 

תטא

  • תטא (Θ) – אומדן לשינוי מחיר האופציה כאשר הזמן לפקיעה מתקצר ביום אחד.
  • עבור רוב האופציה כאשר הזמן לפקיעה מתקצר, מחיר האופציה יורד – תטא שלילית.
  • באופציות PUT עמוק בתוך הכסף – התטא חיובית

 

רו

  • רו (ρ) – אומדן לשינוי מחיר האופציה כאשר הריבית עולה בנק' אחוז.
  • רו הוא נגזרת מחיר האופציה לפי הריבית.
  • רו חיובי באופציות CALL ושלילי באופציות PUT.

 

אומגה

  • אומגה (Ω) – אומדן לשינוי מחיר האופציה כאשר מחיר נכס הבסיס משתנה ב 1%.
  • אומגה של אופציה היא למעשה הגמישות של מחיר האופציה.
  • ככל שאופציה מחוץ לכסף – אומגה גדלה (בערך מוחלט).
  • לאומגה שם נוסף – מנוף – הסיבה לכך נעוצה בעובדה שכאשר האופציה מחוץ לכסף המשקיע נהנה יותר מתנודתיות במחיר נכס הבסיס ולכן יכול להרוויח על השקעה נמוכה.


שש + 4 =

תואר ראשון
תואר שני
מרצים