שם הכותב: תאריך: 30 מרץ 2014

מודלים לחישוב מחירי אופציות

 

קיימים מודלים רבים לחישוב מחירי אופציות. המודלים שונים זה מזה ברמת המורכבות שלהם:

  • מודל נאיבי
  • מודל בינומי
  • מודל B&S

 

המודל הנאיבי

המודל מתמחר אופציות בעולם של ודאות.

באופן כללי, ניתן לרכוש נכס בסיס בשתי דרכים:

  • רכישה ישירה של נכס הבסיס עצמו – במקרה זה יהיה המחיר היום S.
  • רכישה דרך האופציה – במקרה זה נשלם היום את מחיר האופציה C(X) ובעתיד את מחיר המימוש X.

 

הנחות המודל הנאיבי:

אין ריבית במשק (r=0%)

שתי הדרכים לרכישת המניה (כאמור לעיל) שקולות.

ולכן:

שווי האופציה:

 

מודל נאיבי מורחב

ניתן להרחיב את המודל הנאיבי גם למקרה כללי שבו שער הריבית במשק אינו 0. במקרה זה נקבל:


מאחר וייתכן שהאופציה כלל לא תמומש הרי שהשווי שלה:


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מודל נאיבי מורחב אופציית PUT

באותו אופן, ניתן להראות ששווי אופציית ה PUT:


 

 

 

 

 

 

דוגמא 1:

מה שוויה הנוכחי של אופציית CALL עם מחיר מימוש 90, אם הריבית בשוק 0% ושווי המניה (S) הוא 100?

תשובה– היות שמחיר המימוש נמוך ממחיר המניה ושער הריבית הוא 0%, הרי ששווי האופציה לפי המודל הנאיבי הוא 10 ₪:


 

דוגמא 2:

מה שוויה הנוכחי של אופציית CALL, הניתנת למימוש בעוד שנתיים, עם מחיר מימוש 90, אם הריבית בשוק 5% ושווי המניה (S) הוא 100?

תשובה היות והמימוש בעוד שנתיים ומחיר המימוש נמוך ממחיר המניה ושער הריבית הוא 5%, הרי ששווי האופציה לפי המודל הנאיבי הוא 18.37:


 

דוגמא 3:

מה שוויה הנוכחי של אופציית CALL עם מחיר מימוש 150, אם הריבית בשוק 0% ושווי המניה (S) הוא 100?

תשובה– היות שמחיר המימוש גבוה ממחיר המניה ושער הריבית הוא 0%, הרי ששווי האופציה לפי המודל הנאיבי הוא 0:


 

 

 

 

 

אופציות – הרכב הפרמיות

ערך פנימי- התזרים הנובע ממימוש מיידי של האופציה. זהו למעשה ההפרש בין מחיר הנכס (S) לבין מחיר המימוש (X):

  • ערך פנימי של אופציית Call: (0, X – S)Max
  • ערך פנימי של אופציית Put: (0, S – X)Max

ערך הזמן – נובע מההפרש בין הפרמיה לערך הפנימי של האופציה. מושפע מהגורמים הבאים:

  • מתנודתיות נכס הבסיס (ככל שיותר תנודתי ההסתברות לרווח גבוהה יותר אך גם הסיכון גבוה יותר)
  • מגובה ריבית חסרת סיכון (ככל שהריבית גבוהה יותר נקבל יותר על הכסף בבנק ולכן נעדיף את האופציה שבה לא נדרש להוציא את כל הכסף היום)

מחיר האופציה = הערך הפנימי + ערך הזמן

 

דוגמא לחישוב שווי הפרמיה והרכב הפרמיה    

מה שוויה הנוכחי של אופציית CALL, הניתנת למימוש בעוד שנתיים, עם מחיר מימוש (X) שהוא 90, אם הריבית בשוק 5% ושווי המניה (S) הוא 100?


הערך הפנימי:

ערך הזמן:

 


 

 

המודל הבינומי

המודל הבינומי פותח על ידי Sharpe (1978).

הרעיון שעומד בבסיס המודל הוא יצירת תיק המורכב מאופציות ומנכס בסיס, כך שערך התיק לא ישתנה כתוצאה משינויים בנכס הבסיס.

המודל פשטני יחסית למודלים שנלמד בהמשך, אך הוא גמיש וניתן ליישום במצבים רבים.


 

 

המודל הבינומי החד-תקופתי

המודל הבינומי, מניח כי מחיר נכס בסיס בתום תקופה יכול לקבל שני ערכים (בד"כ מסומנים בלמעלה (U) ולמטה (D)).


למשל – אם מחיר המניה היום הוא 100, הוא יכול או לעלות ב 20% (ולהגיע ל- 120) או לרדת ב – 10% (ולהגיע ל – 90)

מתוך מחירי המניה בתום התקופה, ניתן לחשב גם את התזרים למחזיק האופציה בסוף התקופה.

דוגמא

נתון כי קיימת אופציה על המניה לעיל, שמחיר המימוש שלה הוא 100:

אופציה

מניה

נבנה תיק המורכב ממניות ב long ומהאופציות לעיל ב short.

 

דוגמא לתיק נכסים

כאמור, נרצה לבנות תיק נכסים חסר סיכון. נניח שהתיק שנבנה מורכב מרכישת 10 מניות וכתיבת 15 אופציות CALL (בהמשך נלמד באיזו פרופורציה לבחור בין הנכסים):

נבחן את תזרים המזומנים העתידי מהנכס:

 

Sd=90

Su=120

+ 10 מניות

10*90=900

10*120=1200

– 15 אופציות CALL

0

-15*20=-300

סה"כ

900

900

ראינו שהתיק לעיל, מבטיח תמיד תזרים עתידי של 900 ולכן הוא תיק חסר סיכון. נגדיר ריבית חסרת סיכון r ונניח שהיא שווה ל 5%. ברור לנו שמתקיים:

אנחנו יודעים גם את המחיר הנוכחי של המניה (100) ולכן נוכל לחשב את מחיר האופציה –

יחס ההגנה (H)

יחס ההגנה הוא כמות המניות שיש לקנות על כל אופציה בתיק על מנת להפוך את התיק לחסר סיכון.

 

Sd

Su

H מניות ב Long

H*Sd

H*Su

אופציית CALL ב – short

-Cd

-Cu

סה"כ

H*Sd-Cd

H*Su-Cu

 

השקעה בנכס חסר סיכון צריכה להניב (בכל מקרה) ריבית חסרת סיכון ולכן:

לשם נוחות נגדיר:

ונחלץ את :

 

 

חישוב מחיר אופציה על פי המודל הבינומי

כפי שראינו לעיל, מחיר אופציית ה CALL היה 9.52.

נחשב מחיר זה לפי נוסחת המודל הבינומי:

 

המודל הבינומי – אופציית PUT

באותו אופן ניתן להוכיח כי מחיר אופציית PUT הינו:

 

ההסתברויות לעליית וירידת מחיר המניה

נשים לב, שהמקדם של ערך המניה בעלייה (Cu), משקף למעשה את ההסתברות שהמניה תעלה (q) ובאותו אופן המקדם של ערך המניה בירידה משקף את ההסתברות שהמניה תרד (1-q):

 

המודל הבינומי הדו-תקופתי

במודל זה, אנו מניחים כי קיימות שתי תקופות.

בסוף כל תקופה, יכול מחיר המניה לעלות או לרדת (בדומה למודל החד תקופתי).

נסמן:

  • Suu – מחיר המניה בסוף התקופה השנייה בהנחה שהיא עלתה בשתי התקופות.
  • Sud – מחיר המניה בסוף התקופה השנייה בהנחה שהיא עלתה באחת התקופות וירדה בשנייה*.

  • Sdd – מחיר המניה בסוף התקופה השנייה בהנחה שהיא ירדה בשתי התקופות.


על מנת לחשב את מחיר האופציה בזמן 0 (C0), נחשב את מחיר האופציה בתחילת התקופה השנייה (Cu) בהנחה שמחיר המניה יעלה ונקבל:


בנוסף, נחשב את מחיר האופציה בתחילת התקופה השנייה (Cd) בהנחה שמחיר המנייה ירד ונקבל:


לאחר שחישבנו את מחירי האופציה בתחילת התקופה השנייה נוכל לחשב את מחיר האופציה בזמן 0, על ידי שימוש באותה נוסחא:


או, לאחר הצבה של Cu ו Cd:


באותו אופן ניתן לראות שעבור אופציית PUT מתקיים:


 

דוגמא מסכמת

מחיר נכס הבסיס הינו 80 ₪.

ריבית חסרת סיכון בשוק הינה 10% לתקופה.

מחירו של נכס הבסיס יכול לעלות ב 25% או לרדת ב 20% בכל תקופה.

חשב את מחירה הנוכחי של אופציית CALL בעלת מחיר מימוש של 70 הפוקעת בעוד 2 תקופות.

חשב את מחירה הנוכחי של אופציית PUT בעלת מחיר מימוש של 70 הפוקעת בעוד 2 תקופות.

פתרון:

חישוב מחיר אופציית CALL(70)

נתון:


 

ההסתברות לעליית מחיר המנייה:


ולכן מחיר אופציית ה CALL יהיה:


 

 

 

חישוב מחיר אופציית PUT(70)

באותו אופן ידוע כי ההסתברות לעליית מחיר המניה – q=2/3.

עץ התשלומים של האופציה להלן:


 

ולכן מחיר האופציה:




− שתיים = 2

תואר ראשון
תואר שני
מרצים